届一轮复习北师大版概率离散型随机变量的分布列 学案Word下载.docx
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【试题解析】因为事件A,B,C,D互斥,且P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.67,所以P(B+C+D)=0.67-P(A)=0.55.
在应用概率加法公式时,一定要注意其应用的前提是涉及的事件是互斥事件.对于事件A,B,有
,只有当事件A,B互斥时,等号才成立.
1.抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件
为出现奇数点,事件
为出现2点,已知
,则出现奇数点或2点的概率为________.
【答案】
易错点2混淆“等可能”与“非等可能”
从5名男生和3名女生中任选1人去参加演讲比赛,求选中女生的概率.
【错解】从8人中选出1人的结果有“男生”“女生”两种,则选中女生的概率为
.
【错因分析】因为男生人数多于女生人数,所以选中男生的机会大于选中女生的机会,它们不是等可能的.
【试题解析】选出1人的所有可能的结果有8种,即共有8个基本事件,其中选中女生的基本事件有3个,故选中女生的概率为
.学
利用古典概型的概率公式求解时,注意需满足两个条件:
(1)所有的基本事件只有有限个;
(2)试验的每个基本事件是等可能发生的.
2.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
错点3几何概型中测度的选取不正确
在等腰直角三角形ABC中,直角顶点为C.
(1)在斜边AB上任取一点M,求AM<
AC的概率;
(2)在∠ACB的内部,以C为端点任作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AM<
AC的概率.
【错解】
(1)如图所示,在AB上取一点C'
使AC'
=AC,连接CC'
由题意,知AB=
AC.
由于点M是在斜边AB上任取的,所以点M等可能分布在线段AB上,因此基本事件的区域应是线段AB.
所以
(2)在∠ACB的内部作射线
,则所求概率为
【错因分析】第
(2)问的解析中错误的原因在于选择的观察角度不正确,因为在∠ACB的内部作射线
是均匀分布的,所以射线
作在任何位置都是等可能的,则涉及的测度应该是角度而不是长度.学
【试题解析】
(2)由于在∠ACB内作射线CM,等可能分布的是CM在∠ACB内的任一位置(如图所示),因此基本事件的区域应是∠ACB,又
,
,所以
对一个具体问题,可以将其几何化,如建立坐标系将试验结果和点对应,然后利用几何概型概率公式.
(1)一般地,一个连续变量可建立与长度有关的几何概型,只需把这个变量放在坐标轴上即可;
(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述,则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件,然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型;
(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述,则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件,利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型.
3.如图,矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在椭圆内的黄豆数为225,以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积为
A.16B.17
C.18D.19
(1)与长度有关的几何概型,其基本事件只与一个连续的变量有关;
(2)与面积有关的几何概型,其基本事件与两个连续的变量有关,若已知图形不明确,可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决问题;
(3)与体积有关的几何概型,可借助空间几何体的体积公式解答问题.
易错点4错解随机变量的取值概率而致错
从4名男生和2名女生中任意选择3人参加比赛,设被选中的女生的人数为
.
(1)求
的分布列;
(2)求所选女生的人数至多为1的概率.
(1)由题设可得
的可能取值为0,1,2,
且
的分布列为
1
2
(2)所选女生的人数至多为1即随机变量的取值为
,其概率为
【错因分析】产生错解的原因是对随机变量的取值概率求解错误,事实上随机变量
服从参数为
的超几何分布.学*
4.某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测,每件一等品都能通过检测,每件二等品通过检测的概率为
.现有
件产品,其中
件是一等品,
件是二等品.
(1)随机选取
件产品,设至少有一件通过检测为事件
,求事件
发生的概率;
(2)随机选取
件产品,其中一等品的件数记为
,求
的分布列.
【解析】
(1)
所以随机选取3件产品,至少有一件通过检测的概率为
(2)由题意可知
的所有可能取值为
则随机变量
3
易错点5对超几何分布的概念理解不透彻而致错
盒中装有12个零件,其中有9个正品,3个次品,从中任取一个,若取出的是次品不再放回,再取一个零件,直到取得正品为止.求在取得正品之前已取出次品数
【错解】由题意可知,
服从超几何分布,其中
,所以在取得正品之前已取出次品数
,所以已取出次品数
【错因分析】错解中未理解超几何分布的概念.本题是不放回抽样,“
”表示“第一次取到次品,第二次取到正品”,“
”表示“前两次都取到次品,第三次取到正品”,属于排列问题.而超几何分布是一次性抽取若干件产品,属于组合问题.学*
所以已取出次品数
求随机变量的分布列的关键是熟练掌握排列、组合知识,求出随机变量每个取值的概率,注意概率的取值范围(非负),在由概率之和为1求参数问题中要把求出的参数代回分布列进行检验.
5.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位:
克),重量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515],由此得到样本的频率分布直方图,如下图所示:
(1)根据频率分布直方图,求重量超过505克的产品数量;
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设
为重量超过505克的产品数量,求
掌握离散型随机变量的分布列,须注意:
(1)分布列的结构为两行,第一行为随机变量X所有可能取得的值;
第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率.看每一列,实际上是上为“事件”,下为“事件发生的概率”,只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的.每完成一列,就相当于求一个随机事件发生的概率.
(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误.
易错点6混淆互斥事件与相互独立事件而致错
甲投篮命中率为
,乙投篮命中率为
,每人投3次,两人都恰好投中2次的概率是多少?
【错解】设“甲恰好投中2次”为事件
,“乙恰好投中2次”为事件
则“两人都恰好投中2次”为事件
【错因分析】产生错解的原因是把相互独立事件同时发生当成互斥事件来考虑,将“两人都恰好投中2次”理解为“甲恰好投中2次”与“乙恰好投中2次”的和.学
1.运用公式P(AB)=P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件,只有当事件A、B相互独立时,公式才成立.
2.独立重复试验中,每一次试验只有两种结果,即某事件要么发生,要么不发生,并且任何一次试验中某事件发生的概率相等.注意恰好与至多(少)的关系,灵活运用对立事件.
6.已知盒中有10个灯泡,其中8个正品、2个次品.需要从中取出2个正品,每次取出1个,取出后不放回,直到取出2个正品为止,设
为取出的次数,则
_____________.
【解析】由题意易得
的所有可能取值为2,3,4,根据相互独立事件同时发生的概率公式可得
一、随机事件与概率
1.事件关系的判断方法
对互斥事件要把握住不能同时发生,而对于对立事件除不能同时发生外,其并事件应为必然事件,这些也可类比集合进行理解,具体应用时,可把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪些试验结果,从而断定所给事件的关系.
2.基本事件个数的计算方法
(1)列举法;
(2)列表法;
(3)利用树状图列举.
3.求互斥事件概率的两种方法
(1)直接求法:
将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和,运用互斥事件概率的加法公式计算.
(2)间接求法:
先求此事件的对立事件,再用公式P(A)=1-
求得,即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法往往会较简便.
二、古典概型
1.求古典概型的基本步骤
(1)算出所有基本事件的个数n.
(2)求出事件A包含的所有基本事件数m.
(3)代入公式P(A)=
,求出P(A).
2.基本事件个数的确定方法
(1)列举法:
此法适用于基本事件较少的古典概型.
(2)列表法:
此法适用于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成是坐标法.
3.求与古典概型有关的交汇问题的方法
解决与古典概型交汇命题的问题时,把相关的知识转化为事件,列举基本事件,求出基本事件和随机事件的个数,然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.
三、几何概型
1.求解与长度(角度)有关的几何概型的方法
求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度).然后求解,要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长度、角度).
2.求解与体积有关的几何概型的方法
对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间),对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.
3.求解与面积有关的几何概型的方法
求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积,必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到全部试
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