届高考数学平面解析几何第一轮备考复习教案Word格式.docx
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在本模块中,学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程,运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系,并了解空间直角坐标系。
体会数形结合的思想,初步形成用代数方法解决几何问题的能力。
在平面解析几何初步的教学中,教师应帮助学生经历如下的过程:
首先将几何问题代数化,用代数的语言描述几何要素及其关系,进而将几何问题转化为代数问题;
处理代数问题;
分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题。
这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终,帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。
从新改近两年的高考信息统计可以看出,命题呈现出以下特点:
1、各种题型均有所体现,分值大约在19-24分之间,比重较高,以低档题、中档题为主;
2、主要考查直线及圆的方程,圆锥曲线的定义、性质及综合应用,符合考纲要求,这些知识属于本的重点内容,是高考的必考内容,有时还注重在知识交汇点处命题;
3、预计本在今后的高考中仍将以直线及圆的方程,圆锥曲线的定义、性质及直线与圆锥曲线的位置关系为主命题,且难度有所降低;
更加注重与其他知识交汇,充分体现以能力立意的命题方向。
第一节直线与方程
【高考目标导航】
一、基本公式、直线的倾斜角与斜率及直线方程
(一)考纲点击
1、在平面直角坐标系中,结合具体图形,掌握确定直线位置的几何要素;
2、掌握两点间的距离公式;
3、理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式;
4、掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点及一般式),了解斜截式与一次函数的关系。
(二)热点提示
1、基本公式、直线的斜率、方程以及两直线的位置关系是高考的重点;
2、常和圆锥曲线综合命题,重点考查函数与方程、数学形结合思想;
3、多以选择、填空题的形式出现,属于中低档题目。
二、两条直线的位置关系、点到直线的距离
1、能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直;
2、能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标;
3、掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离。
1、两条直线的平行与垂直是非常重要的位置关系,因此高考中对直线的考查多以此为载体;
2、两点间距离公式、点到直线的距离公式,两平行线间的距离公式是高考考查的重点;
3、常在与圆、椭圆、双曲线、抛物线的交汇处命题。
【考纲知识梳理】
一、直线的倾斜角与斜率
1、直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①关于倾斜角的概念要抓住三点:
ⅰ与x轴相交;
ⅱx轴正向;
ⅲ直线向上方向
②直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为
③倾斜角的范围
(2)直线的斜率
①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值,而倾斜角为的直线斜率不存在。
②经过两点的直线的斜率公式是
③每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率。
2、两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线,其斜率分别为,则有。
特别地,当直线的斜率都不存在时,的关系为平行。
(2)两条直线垂直
如果两条直线斜率存在,设为,则
注:
两条直线垂直的充要条是斜率之积为-1,这句话不正确;
由两直线的斜率之积为-1,可以得出两直线垂直,反过,两直线垂直,斜率之积不一定为-1。
如果中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,互相垂直。
二、直线的方程
1、直线方程的几种形式
名称方程的形式已知条局限性
点斜式为直线上一定点,为斜率不包括垂直于x轴的直线
斜截式为斜率,b是直线在轴上的截距不包括垂直于x轴的直线
两点式且是直线上两定点不包括垂直于x轴和轴的直线
截距式a是直线在x轴上的非零截距,b是直线在轴上的非零截距不包括垂直于x轴和轴或过原点的直线
一般式A,B,为系数无限制,可表示任何位置的直线
过两点P1(x1,1),P2(x2,2)的直线是否一定可用两点式方程表示?
(不一定。
(1)若x1=x2且1≠2,直线垂直于x轴,方程为;
(2)若,直线垂直于轴,方程为;
(3)若,直线方程可用两点式表示)
2、线段的中点坐标公式
若点的坐标分别为,且线段的中点的坐标为(x,),则此公式为线段的中点坐标公式。
三、直线的交点坐标与距离公式
1两条直线的交点
设两条直线的方程是,两条直线的交点坐标就是方程组的解,若方程组有唯一解,则这两条直线相交,此解就是交点的坐标;
若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;
反之,亦成立。
2几种距离
(1)两点间的距离
平面上的两点间的距离公式
特别地,原点(0,0)与任一点P(x,)的距离
(2)点到直线的距离
点到直线的距离;
(3)两条平行线间的距离
两条平行线间的距离
(1)求点到直线的距离时,直线方程要化为一般式;
(2)求两条平行线间的距离时,必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后,才能套用公式计算。
四、两条直线的位置关系
【要点名师透析】
(一)直线的倾斜角
※相关链接※2.已知斜率的范围,求倾斜角的范围时,若为正数,则的范围为的子集,且=tan为增函数;
若为负数,则的范围为的子集,且=tan为增函数。
若的范围有正有负,则可所范围按大于等于0或小于0分为两部分,针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。
※例题解析※
〖例〗已知直线的斜率=-s(∈R)求直线的倾斜角的取值范围。
思路解析:
s的范围斜率的范围tan的范围倾斜角的取值范围。
解答:
(二)直线的斜率及应用
※相关链接※
1、斜率公式:
与两点顺序无关,即两点的横纵坐标在公式中前后次序相同;
2、求斜率的一般方法:
(1)已知直线上两点,根据斜率公式求斜率;
(2)已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据求斜率;
3、利用斜率证明三点共线的方法:
已知若,则有A、B、三点共线。
斜率变化分成两段,是分界线,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论。
〖例〗设是互不相等的三个实数,如果在同一直线上,求证:
若三点共线,则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在。
(三)两条直线的平行与垂直
〖例〗已知点(2,2),N(,-2),点P在x轴上,分别求满足下列条的P点坐标。
(1)∠P=∠PN(是坐标原点);
(2)∠PN是直角。
∠P=∠PN//PN,∠PN是直角PNP,故而可利用两直线平行和垂直的条求得。
(1)充分掌握两直线平行的条及垂直的条是解决本题的关键,对于斜率都存在且不重合的两条直线和,。
若有一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意。
(2)注意转化与化归思想的应用。
(3)利用斜率的几何意义可以证明不等式,利用两斜率之间的关系可以判断两直线的平行或垂直,数形结合的思想方法可帮助我们很直观地分析问题,抓住问题的实质。
(一)直线方程的求法
1、求直线方程应先选择适当的直线方程形式并注意各种形式的适用条。
基本方法包括利用条直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量。
用待定系数法求直线方程的步骤:
(1)设所求直线方程的某种形式;
(2)由条建立所求参数的方程(组);
(3)解这个方程(组)求参数;
(4)把所求的参数值代入所设直线方程。
2、求直线方程时,首先分析具备什么样的条;
然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程。
要注意若不能断定直线具有斜率时,应对斜率存在与不存在加以讨论。
在用截距式时,应先判断截距是否为0。
若不确定,则需分类讨论。
〖例〗求过点P(2,-1),在x轴和轴上的截距分别为a、b,且满足a=3b的直线方程。
对截距是否为0分类讨论设出直线方程代入已知条求解得直线方程。
当a=3,b≠0时,设所求直线方程为,即
(二)用一般式方程判定直线的位置关系
两条直线位置关系的判定
已知直线,,则
(1)
(2)
(3)
(4)
〖例〗已知直线和直线,
(1)试判断与是否平行;
(2)⊥时,求的值。
可直接根据方程的一般式求解,也可根据斜率求解,所求直线的斜率可能不存在,故应按的斜率是否存在为分类标准进行分类讨论。
(1)方法一:
方法二:
(2)方法一:
由
(三)直线方程的应用
利用直线方程解决问题,可灵活选用直线方程的形式,以便简化运算。
一般地,已知一点通常选择点斜式;
已知斜率选择斜截式或点斜式;
已知截距或两点选择截距式或两点式。
另外,从所求的结论看,若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长,常选用截距式或点斜式。
(1)点斜式与斜截式是两种常见的直线方程形式,要注意在这两种形式中所要求直线的斜率存在。
(2)“截距”并非“距离”,可以是正的,也可以是负的,还可以是0。
〖例〗如图,过点P(2,1)作直线,分别为交x、轴正半轴于A、B两点。
(1)当⊿AB的面积最小时,求直线的方程;
(2)当|PA|&
#8226;
|PB|取最小值时,求直线的方程。
求直线方程时,要善于根据已知条,选取适当的形式。
由于本题中给出了一点,且直线与x、轴在正方向上分别相交,故有如下常见思路:
①点斜式:
设的方程为,分别求出A、B的坐标,根据题目要求建立目标函数,求出最小值并确立最值成立的条;
②截距式:
设的方程为,将点(2,1)代入得出a与b的关系,建立目标函数,求最小值及最值成立的条;
③根据题意,设出一个角,建立目标函数,利用三角函数的有关知识解决。
设的方程为,则方法二:
设所求直线方程为,由已知得,于是。
当且仅当,即时,取最大值,此时取最小值4。
故所求的直线的方程为,即。
方法三:
设所求直线方程为,由已知得
解析法解决实际问题,就是在实际问题中建立直角坐标系,用坐标表示点,用方程表示曲线,从而把问题转化为代数问题,利用代数的方法使问题得
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