高考数学一轮 课标通用 第十一章计数原理概率随机变量及其分布117离散型随机变量及其分布列学案理Word文件下载.docx
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p2
pi
pn
此表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列,有时也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X的分布列.
(2)性质
①pi________,i=1,2,3,…,n;
②
i=1.
(2)①≥0
3.常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布
1
________
p
若随机变量X的分布列具有上表的形式,就称X服从两点分布,并称p=P(X=1)为________.
(2)超几何分布
在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=________,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.
m
______
如果随机变量X的分布列具有上表的形式,则称随机变量X服从超几何分布.
(1)1-p 成功概率
(2)
(1)[教材习题改编]已知离散型随机变量ξ的分布列为
ξ
2
3
n
则k的值为________.
解析:
由
+
+…+
=1,得k=1.
(2)[教材习题改编]设随机变量X等可能取1,2,3,…,n,如果P(X<
4)=0.3,那么n=________.
10
由题意知
×
3=0.3,∴n=10.
[典题1] 设离散型随机变量X的分布列为
4
0.2
0.1
0.3
求:
(1)2X+1的分布列;
(2)|X-1|的分布列.
[解] 由分布列的性质知,
0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3.
首先列表为
2X+1
5
7
9
|X-1|
从而由上表得两个分布列为
(1)2X+1的分布列为
(2)|X-1|的分布列为
[点石成金] 1.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要注意检验,以保证各个概率值均为非负数.
2.若X是随机变量,则η=|X-1|等仍然是随机变量,求它的分布列可先求出相应随机变量的值,再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率,进而写出分布列.
考点2 离散型随机变量分布列的求法
离散型随机变量的分布列易错点:
随机变量的取值不全;
分布列的概率之和不为1.
下列四个表格中,可以作为离散型随机变量分布列的是________.
③
利用离散型随机变量的分布列的性质可排除①,②,④.
离散型随机变量的分布列:
随机变量的取值;
求概率;
列表检验.
某射手射击一次所得环数X的分布列如下:
8
0.4
现该射手进行两次射击,以两次射击中最高环数作为他的成绩,记为ξ,则ξ的分布列为________.
0.01
0.24
0.39
0.36
ξ的可能取值为7,8,9,10.P(ξ=7)=0.12=0.01,P(ξ=8)=2×
0.1×
0.4+0.42=0.24,
P(ξ=9)=2×
0.3+2×
0.4×
0.3+0.32=0.39,
P(ξ=10)=2×
0.2+2×
0.3×
0.2+0.22=0.36,
∴ξ的分布列为
[典题2] 某商店试销某种商品20天,获得如下数据:
日销售量(件)
频数
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存量少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率.
(1)求当天商店不进货的概率;
(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的分布列.
[解]
(1)P(当天商店不进货)=P(当天商品销售量为0件)+P(当天商品销售量为1件)=
=
.
(2)由题意知,X的可能取值为2,3.
P(X=2)=P(当天商品销售量为1件)=
;
P(X=3)=P(当天商品销售量为0件)+P(当天商品销售量为2件)+P(当天商品销售量为3件)=
所以X的分布列为
[点石成金] 求离散型随机变量分布列的步骤
考点3 超几何分布
[典题3] 为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;
乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列.
[解]
(1)由已知得,
P(A)=
所以事件A发生的概率为
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P(X=k)=
(k=1,2,3,4).
所以随机变量X的分布列为
[点石成金] 超几何分布的两个特点
(1)对于服从某些特殊分布的随机变量,其分布列可直接应用公式给出;
(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数,随机变量取值的概率实质上是古典概型.
[2017·
山东济南调研]PM2.5是指悬浮在空气中的直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095-2012,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;
在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;
在75微克/立方米以上空气质量为超标.
从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本,监测值频数如下表所示:
PM2.5日均值(微克/立方米)
[25,
35]
(35,
45]
(45,
55]
(55,
65]
(65,
75]
(75,
85]
(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽出3天,求恰有一天空气质量达到一级的概率;
(2)从这10天的数据中任取3天数据,记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列.
解:
(1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽出3天,恰有一天空气质量达到一级”为事件A,则
(2)依据条件,随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,
P(ξ=k)=
(k=0,1,2,3).
∴P(ξ=0)=
,
P(ξ=1)=
P(ξ=2)=
P(ξ=3)=
因此ξ的分布列为
[方法技巧] 1.随机变量的线性关系
若X是随机变量,Y=aX+b,a,b是常数,则Y也是随机变量.
2.分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值.
(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求相关事件的概率.
3.求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定ξ的取值情况,然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率.
[易错防范] 掌握离散型随机变量的分布列的注意事项
(1)分布列的结构为两行,第一行为随机变量X所有可能取得的值;
第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率.看每一列,实际上是上为“事件”,下为“事件发生的概率”,只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的.每完成一列,就相当于求一个随机事件发生的概率.
(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误.
真题演练集训
1.[2016·
新课标全国卷Ⅰ]某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(1)求X的分布列;
(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?
(1)由柱状图并以频率代替概率可得,1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而
P(X=16)=0.2×
0.2=0.04;
P(X=17)=2×
0.2×
0.4=0.16;
P(X=18)=2×
0.2+0.4×
0.4=0.24;
P(X=19)=2×
0.2=0.24;
P(X=20)=2×
0.4+0.2×
0.2=0.2;
P(X=21)=2×
0.2=0.08;
P(X=22)=0.2×
0.2=0.04.
16
17
18
19
20
21
22
0.04
0.16
0.08
(2)由
(1)知,P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19.
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:
元).
当n=19时,
E(Y)=19×
200×
0.68+(19×
200+500)×
0.2+(19×
200+2×
500)×
0.08+(19×
200+3×
500
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