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题目：

成都市地铁规划的数学优化模型

【摘要】

本文主要研究电子科技大学清水河校区周边的独立地铁走向和沙河校区周边地段的地铁交叉布局，目标是通过对我校周边地铁走向的分析，来确定站台的位置，并通过对地铁规划的各种因素的分析与研究，优化了地铁线路走向和风亭站点设置。

我们小组的思路是，在考虑影响地铁建设的主观因素，即：

线路长度与覆盖面积，站点设置，因客流量而带来的经济效益，地铁辆次问题，以及客观因素，即：

城市用地布局，水文地理对施工的影响，环境保护所需费用的基础上，充分结合生活实际情况，确定各个影响因素所占重要性的比重，并利用化简，统一的思想将复杂的成都“米”字地铁网络简化为点与线之间的简单问题，做出合理的假设和分析，使地铁的规划既符合经济发张的需求，又满足人类生活和出行的方便。

在此，我们研究了一个判断标准（H）和三个逐层深入的问题。

首先，我们设计了一个判断的标准（H），分析了各个因素对地铁建设影响性的重要程度。

对于第一个问题，先研究了我校（清水河校区）周围的一条直线形单轨（2号线）的站点分布位置，再用单轨判断标准H确定了地铁轨道的合理走向。

其次，对于第二个问题，我们在对第一个问题分析研究的基础上，用相同的分析方法，更加深入的研究了我校（沙河校区）周围的环形密集轨道的站点设计及走向。

最后，对于第三个问题，我们结合了第一，第二个问题，研究了直线形单轨道和环形密集轨道相交错结合的问题,将问题的研究更加深入，更加贴近生活实际。

在模型建立的过程过，我们假设了很多新的变量，并对变量之间的关系做出了谨慎，合理的推断，最后列出方程，结合matlab软件，进行求解。

关键词：

权重分析单轨分布环状分布换乘车站

一．问题的重述

所给问题是建立在正在规划和建立的成都地铁的背景上，让我们结合与地铁规划有关的各种因素：

建设成本，长期效益，人口密度等等，并在对现状和未来发展充分考虑的基础上，对成都地铁进行规划，从而在促进经济发张，方便人民生活的方面上达到最优化。

根据题中所给的资料，通过分析，我们需要解决以下问题：

（1）建立数学模型和方法，确定可能影响地铁规划和建设的各个因素所占的比重，并通过对各个因素比重的计算，确定地铁站点建立的合理的位置以及地铁所通过的路径。

（2）在成都市中心地区（我校沙河校区周边）以及成都较偏远地区（我校清水河校区）的范围内，我们运用确定比重分析的方法，并将地图化简为线与点之间的问题，从容易到复杂的层次上，依次分析了直线单轨道，环形密集轨道以及两轨道交错的情况的地铁站点位置和所通过路径。

（3）在以上问题的基础上，再把抽象成数学问题的地铁模型还原成实际生活问题，从而进行进一步的改进，分析以及优化。

二．问题的分析

在本文中，我们需要解决四个问题，首先是设定一个评价标准（H）来衡量独立地铁路线和站点选择的影响因素的类型和权重比例。

在查阅了有关地铁线路和站点的影响因素的资料中，我们选取了符合现实各个方面的主要影响线路选择的因素——总建设成本，运营费用，招商引资和统筹规划；

影响站点选择的因素——人口密度和客流量，与其他交通工具的配套使用。

其中，我们的判断标准H以地铁的收益与投资的差值的正负性做为依据，另外，我们用地铁的搭载辆来描述人口密度和客流量。

对每一个影响因素设立一个权重的比例常数，由此，可以分析这个判断标准的合理性。

根据资料表明，重点如下表格所示：

影响因素及权重

建设成本

运营成本

经济效益

社会效益

（XT2,a6）

（AT1+BT2+C,a3）

（365UPT1，a4）

提升国际形象

（SY,a1）

（DT1,a3）

（WT1,a5）

统筹城乡规划

表注：

1，（x,y）x代表影响因素，y代表影响因素的权重

2，因成都地铁公司调查成都市民对地铁修建造成的城市影响表示十分的理解，故a6≈0.

若具有多个路线或者站点符合以上判断标准时，线路应考虑：

方便出行人群，减少生态敏感区的破坏等潜在因素；

站点应考虑人性化设计：

与其他交通工具配合，多建立在路口附近等。

对于第二到四个问题，我们采用，化简和统一的思想，把复杂且近似无规律的地铁网络，简化为独立轨道和密集网孔的两大类，单独对这量大类进行线路和站点的分析；

最后，再对联系这两类的“交叉点”的选取进行分析。

三．模型假设

假设：

（1）仅在机车使用年限内分析。

（2）在地铁单轨时，讨论影响地铁线路和风亭的判断标准。

（3）在时间T1内，员工的工资以及地铁的要价保持不变。

（4）一年按照365天来计算。

（5）不考虑施工中和运营期间可能出现的安全事故。

（6）考虑的地铁均为地下地铁，一条地铁线有10辆机车且一个站点的员工人数为10人。

（7）该城区的人口流动是稳定的，季节、天气、节假日等因素对其没有影响或影响很小。

四.符号说明

a1-a6

对应因素的权重比例

U

地铁日平均载客量（人/天）

P

票价（元/人）

T1

机车使用年限（年）

W

一个地铁站点，广告，招商引资，店铺（元/年）

A

日常维护，检修等所需要的费用（元/年）

B

一个站点所有员工工资（元/年）

C

机车材料耗费及其他耗费（元/年）

D

对环境的影响（污水处理，噪音处理。

减小震动等费用）（元/年）

X

对居民，周围地区造成的经济损失及影响

T2

建设的时间（年）

S

地铁站之间的长度（KM）

Y

1km地铁建设的总成本（元）

五．模型建立及求解

1.权重问题分析

H=A*重效益-B*总投资（A,B为影响的权重系数），由问题分析的表格知：

H=（365UPT1,nWT1,AT1+nBT1+C,DT1,XT2,SY）*（a4,a5,-a2,-a3,-a6,-a1）’

以下是对a1—a6的数值分析（其中a6=0）

表1标度的含义

标度

含义

1

表示两个元素相比，具有同样重要性

3

表示两个元素相比，前者比后者稍重要

5

表示两个元素相比，前者比后者明显重要

7

表示两个元素相比，前者比后者强烈重要

9

表示两个元素相比，前者比后者极端重要

2，4，6，8

表示上述相邻判断的中间值

倒数

若元素

与

的重要性之比为

，那么元素

与元素i

重要性之比为

表一知：

判断矩阵M为：

M=13411/3

1/3151/51/3

1/41/511/51/5

15513

3351/51

由公式

经matlab计算得：

该矩阵M为一致性矩阵

且，a1=0.62;

a2=0.19;

a3=0.08;

a4=0.69;

a5=0.32。

所以，

H=（365UPT1,nWT1,AT1+BT1+C,DT1,XT2,SY）*（0.69，0.32，-0.19，-0.08，-0，-0.62）’

相关资料数据：

T1=30,P=2--6,U：

1号线为15万人,W=12000000,A=6.2*10^8，B=500000，D=5*10^8，

>

0;

合理

判断依据H

<

不合理

说明：

此判断依据既可以说明地铁线路和站点是否合理，又可以确定线路走向和站点数量。

2.对我校（清水河）周边的地铁2号线的线路分析

由2010年成都年鉴数据得：

郫县人口密度为：

1200（人/KM^2）

所以U≈60000；

P=3；

由XX地图显示：

选择路线1为：

政府规划路线，要使该路线的H>

0，则需要n1≥5，由最新的成都市规划图知，该路段政府仅设立了一个风亭站点。

所以，该路段的风亭或者路线需要优化

。

1．对原有路段风亭进行优化

S=5.2/4=1.3KM其位置如图2所示

2．对线路的优化

因为，选择线路2的各种参数与选择线路1的差异可以忽略，所以，n2≥5,期风亭的位置如图2所示

比较两个优化的方案，我组认为，虽然，两个方案均满足H>

0，但是，结合郫县发展规划管理的目标，线路1更加的符合该目标，有利于线路1周边地区有的招商引资工作，同时，可以统筹郫县的城乡发展，拉动经济增长。

所以，对该路段的优化方案，我组选用线路1的风亭优化。

（说明：

选择路线2为政府预计路线，选择路线1为路线优化方案）

3.对我校（沙河校区）的密集网孔线路及风亭的优化

由搜狗地图所示：

在“目前换乘1--3”组成的密集地铁网络中

对于这样的密集地铁交错的网孔轨道，首先，类似于，2中步骤，由H计算出：

n1≥4，n2≥5,n3≥3.但是，由于1，2，3地铁形成了一个网孔，于是我们按照单线路来计算站点的覆盖面积，此时面积将有重叠，应用判断H计算出S，以S为半径（R）做圆，圆心为风亭位置，再用网格（此网格以R/10为单位）将地图分成网状图形，通过这种方法，尽可能的找出覆盖整个网格数最多且重合的面积尽量的少的风亭位置。

于是图中，给出了优化风亭的大概位置。

其覆盖范围如园所示。

图注：

1，2，3地铁电路是规划中的地铁3，6，4号线。

4.对换乘点的选取的优化

换乘点是一类特殊的风亭，其功能既有站点又有线路换乘，由于地铁交叉隧道采用的空间上下错位，所以，换乘点的上部地面不能有高层建筑和载重大的桥梁等，考虑换乘风亭建立既要考虑一般的风亭的判断标准，又要，考虑其特殊的要求，所以，我们采用的讨论的换乘车站的选取方法是“排除法”首先在规划轨道交错的范围内排除不能达到换乘风亭的地点，在剩下的地点内，换乘车站就转化为一般的风亭车站，选择风亭的位置，其选择方式和3中讨论一致，这里就不在重复了。

图3给出了一个换乘车站的优化位置。

1为优化换乘风亭，2为规划换乘风亭。

六.模型评价与推广

一．模型的优缺点

1．优点：

（1）在考虑多种影响地铁规划，建设的因素上，我们结合实际情况，运用单轨权重分析法，并从简单到复杂，依次分析了实际问题，并将其抽象为数学问题，最终得到满足人民出行和长期效益上的最优解，对地铁的规划，建设有一定的积极作用。

（2）大胆运用了权重的方法，计算出各个因素对地铁规划影响重要性的大小，舍弃次要因素，抓住主要因素，从而使问题简单化。

（3）我们依次递进，从直线行单轨到环形密集轨道，再到两种轨道交叉，由简单到复杂，依次对地铁问题进行了分析，从而使问题分析有层次感，这种逐层递进的分析方法，使后一个问题是建立在前一个问题的基础上，进而也提高了分析问题的效率。

2.缺点

（1）因为我们用权重分析的方法计算出了各个因素的重要性，所以在后面分析实际问题的时候，我们忽略了次要的因素和潜在因素，只保留了主要的因素，在此情况下，给我们的问题分析带来