人教版必修二高中数学阶段通关训练二及答案Word文件下载.docx
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3.(2016·
成都高二检测)如图,已知三条长度相等的线段AB,BC,CD,若AB⊥BC,BC⊥CD,且直线AB与CD所成角大小为60°
,则直线AD与BC所成角大小为 ( )
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
【解析】选C.如图,过B作BE
CD,连接DE,AE,则四边形BCDE为正方形,∠ABE为直线AB与CD所成角,∠ADE为直线AD与BC所成角.因为AB=BC=CD=BE,∠ABE=60°
,所以AB=BE=AE.因为AB⊥BC,所以AB⊥DE,又BE⊥DE,AB∩BE=B,所以DE⊥平面ABE,所以DE⊥AE,所以△AED为等腰直角三角形,所以∠ADE=
45°
.
【拓展延伸】求异面直线所成角的方法
求异面直线所成角主要是如何通过平移作出其平面角,主要途径有:
利用三角形的中位线、构造平行四边形、利用梯形两底平行、平行线分线段成比例的性质等,如本题通过利用条件中的垂直关系构造正方形,达到平移的目的.
【补偿训练】
(2016·
台州高二检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线A1D与D1C所成的角为 ( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】选C.由题可知,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B∥D1C,所以异面直线A1D与D1C所成的角与直线A1D与A1B所成的角相
等,连接A1B,BD,∠BA1D为所求角,设正方体的棱长为1,在△A1DB中,三条边长均为
,故∠BA1D=60°
4.(2016·
北京高二检测)已知直线m和平面α,β,则下列四个命题中正确的是 ( )
A.若α⊥β,m⊂β,则m⊥αB.若α∥β,m⊥α,则m⊥β
C.若α∥β,m∥α,则m∥βD.若m∥α,m∥β,则α∥β
【解析】选B.若α⊥β,m
⊂β,则直线m与平面α相交,或直线m在平面α内,或直线m与平面α平行,所以选项A不正确;
若α∥β,m∥α,则直线m与平面β平行,或直线m在平面β内,所以选项C不正确.若m∥α,m∥β,则α∥β或α与β相交,所以选项D不正确.
5.(2016·
辽宁师大附中高一检测)如图,六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,则下列结论不正确的是 ( )
A.CF⊥平面PADB.DF⊥平面PAF
C.CF∥平面PABD.CD∥平面PAF
【解析】选A.因为六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC.则AF∥CD,由线面平行的判定定理,可得CD∥平面PAF,故D正确;
DF⊥AF,DF⊥PA,由线面垂直的判定定理可得DF⊥平面PAF,故B正确;
CF∥AB,由线面平行的判定定理,可得CF∥平面PAB,故C正确;
CF与AD不垂直,故A中,CF⊥平面PAD不正确.
6.已知矩形ABCD,AB=1,BC=
,将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中 ( )
A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直
B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直
C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直
D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直
【解析
】选B.A错误.理由如下:
过A作AE⊥BD,垂足为E,连接CE,
若直线AC与直线BD垂直,则可得BD⊥平面ACE,
于是BD⊥CE,而由矩形ABCD边长的关系可知BD与CE并不垂直.所以直线AC与直线BD不垂直.
B正确.理由:
翻折到点A在平面BCD内的射影恰好在直线BC上时,平面ABC⊥平面BCD,此时由CD⊥BC可证CD⊥平面ABC,于是有AB⊥CD.故B正确.
C错误.理由如下:
若直线AD与直线BC垂直,则由BC⊥CD可知BC⊥平面ACD,于是BC⊥AC,但是AB<
BC,在△ABC中∠ACB不可能是直角.故直线AD与直线BC不垂直.由以上分析显然D错误.
二、填空题(每小题5分,共20分)
7.下列说法:
①若a∥b,a∥α,则b∥α;
②若a∥α,b⊂α,则a∥b;
[来源:
Zxxk.Com][来源:
学#科#网]
③若a∥α,则a平行于α内所有的直线;
④若a∥α,a∥b,b⊄α,则b∥α.
其中正确说法的序号是________.
【解析】①中b可能在α内;
②a与b还可能异面或者垂直;
③a还可能与α内的直线异面或垂直.
答案:
④
8.如图,四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E是SA上一点,当点E满足条件:
________时,SC∥平面EBD.
【解析】当点E是SA的中点时,连接AC.
设AC与BD的交点为O,连接EO.
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以点O是AC的中点.
又E是SA的中点,所以OE是△SAC的中位线.
所以OE∥SC.因为SC⊄平面EB
D,OE⊂平面EBD,
所以SC∥平面EB
D.
点E是SA的中点
9.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,点E,F分别是棱PC,PD的中点,则
①棱AB与PD所在直线垂直;
②平面PBC与平面ABCD垂直;
③△PCD的面积大于△PAB的面积;
④直线AE与直线BF是异面直线.[来源:
学科网]
以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号)
【解析】由条件可得AB⊥平面P
AD,
所以AB⊥PD,故①正确;
若平面PBC⊥平面ABCD,由PB⊥BC,
得PB⊥平面ABCD,从而PA∥PB,这是不可能的,故②错;
S△PCD=
CD·
PD,S△PAB=
AB·
PA,
由AB=CD,PD>
PA知③正确;
由E,F分别是棱PC,PD的中点,
可得EF∥CD,又AB∥CD,
所以EF∥AB,故AE与BF共面,④错.
①③
10.(2016·
西宁高二检测)在四面体ABCD中,AB⊥AD,AB=AD=BC=CD=1,且平面ABD⊥平面BCD,M为AB中点,则CM与平面ABD所成角的正弦值为________.
【解析】如图所示,取BD中点O,连接CO,MO,由已知条件BC=CD=1,所以BD⊥CO,由平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以CO⊥平面ABD,则∠CMO即为直线CM与平面ABD所成的角,由AB⊥AD,所以BD=
,则得到BC⊥CD,所以CO=
BD=
,MO=
AD=
,所以在Rt△COM中,CM=
=
,所以sin∠CMO=
.[来源:
Z§
xx§
k.Com]
三、解答题(共4小题,共50分)
11.(12分)(2016·
台州高二检测)如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,点M,N分别是AB,PC的中点,PA=AD=a.
(1)求证:
MN∥平面PAD.
(2)求证:
平面PMC⊥平面PCD.
【证明】
(1)设PD的中点为点E,连接AE,NE,由点N为PC的中点知EN
DC,又ABCD是矩形,所以DC
AB,所以EN
AB,又点M是AB的中点,所以EN
AM,所以AMNE是平行四边形,所以MN∥AE,而AE⊂平面PAD,NM⊄平面PAD,所以MN∥平面PAD.
(2)因为PA=AD,所以AE⊥PD,又因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥PA,而CD⊥AD,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥AE,因为PD∩CD=D,所以AE⊥平面PCD,因为MN∥AE,所以MN⊥平面PCD,又MN⊂平面PMC,所以平面PMC⊥平面PCD.
济南高一检测)如图所示,平面四边形PACB中,∠PAB为直角,△ABC为等边三角形,现把△PAB沿着AB折起,使得△APB与
△ABC垂直,且点M为AB的中点.
平面PAB⊥平面PCM.
(2)若2PA=AB,求直线BC与平面PMC所成角的正弦值.
【解析】
(1)因为平面APB⊥平面ABC且交线为A
B,又因为∠PAB为直角,所以AP⊥平面ABC,故AP⊥CM,又因为△ABC为等边三角形,点M为AB的中点,所以CM⊥AB,又因为PA∩AB=A,所以CM⊥平面PAB,又CM⊂平面PCM,所以平面PAB⊥平面PCM.
(2)假设PA=a,则AB=2a,再设B到平面PMC的距离为hB.则VP-MBC=VB-PMC
PA·
S△MBC=
hB·
SPMC,在直角三角形PAM中,由PA=AM=a,得PM=
a,在等边三角形ABC中,AB边上的高CM=
a,而三角形PMC为直角三角形,故面积为
S△PMC=
CM·
PM=
a·
a=
a2.
又S△MBC=
S△ABC=
a2.所以a·
a2=hB·
故hB=
a.[来源:
学科网ZXXK]
所以直线BC与平面PMC所成角的正弦值
sinθ=
12.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面
ABC,∠BCA=90°
,点D,E分别在棱PB,PC上,且DE∥BC.
BC⊥平面PAC.
(2)是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角?
并说明理由.
(1)因为PA⊥底面ABC,
所以PA⊥BC.又∠BCA=90°
,
所以AC⊥BC.
又因为AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC.
(2)因为DE∥BC,
又由
(1)知,BC⊥平面PAC,
所以DE⊥平面PAC.
又因为AE⊂平面PAC,PE⊂平面PAC,
所以DE⊥AE,DE⊥PE.
所以∠AEP为二面角A-DE-P的平面角.
因为PA⊥底面ABC,所以PA⊥AC,
所以∠PAC=90°
所以在棱PC上存在一点E,
使得AE⊥PC.这时∠AEP=90°
故存在点E,使得二面角A-DE-P为直二面角.
13.(13分)(2016·
杭州高二检测)已知直角梯形ABCD和矩形CDEF所在的平面相互垂直,AD⊥DC,AB∥DC,AB=AD=DE=4,
DC=8,
(1)证明:
BD⊥平面BCF.
(2)设二面角E-BC-D的平面角为α,求sinα.
(3)M为AD的中点,在DE上是否存在一点P,使得MP∥平面BCE?
若存在,求出DP的长;
若不存在,请说明理由.
(1)因为平面ABCD⊥平面CDEF,且矩形CDEF中FC⊥DC,所以FC⊥
面ABCD,FC⊥DB,在直角梯形ABCD中易得DB⊥BC,又FC∩BC=C,所以BD⊥
平面BCF.
(2)因为FC⊥平面ABCD,ED∥FC,所以ED⊥平面ABCD,又DB⊥BC,所以EB⊥BC,所以∠EBD为二面角E-BC-D的平面角α,
所以si
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