高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案附答案Word文档下载推荐.docx
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sin2α=sin2α+cos2α±
2sinαcosα=________________________.
自我检测
1.(2010•陕西)函数f(x)=2sinxcosx是()
A.最小正周期为2π的奇函数
B.最小正周期为2π的偶函数
C.最小正周期为π的奇函数
D.最小正周期为π的偶函数
2.函数f(x)=cos2x-2sinx的最小值和最大值分别为()
A.-3,1B.-2,2
C.-3,32D.-2,32
3.函数f(x)=sinxcosx的最小值是()
A.-1B.-12C.12D.1
4.(2011•清远月考)已知A、B为直角三角形的两个锐角,则sinA•sinB()
A.有最大值12,最小值0
B.有最小值12,无最大值
C.既无最大值也无最小值
D.有最大值12,无最小值
探究点一三角函数式的化简
例1求函数y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值和最小值.
变式迁移1(2011•泰安模拟)已知函数f(x)=4cos4x-2cos2x-1sinπ4+xsinπ4-x.
(1)求f-11π12的值;
(2)当x∈0,π4时,求g(x)=12f(x)+sin2x的最大值和最小值.
探究点二三角函数式的求值
例2已知sin(π4+2α)•sin(π4-2α)=14,α∈(π4,π2),求2sin2α+tanα-1tanα-1的值.
变式迁移2
(1)已知α是第一象限角,且cosα=513,求sinα+π4cos2α+4π的值.
(2)已知cos(α+π4)=35,π2≤α探究点三三角恒等式的证明
例3(2011•苏北四市模拟)已知sin(2α+β)=3sinβ,设tanα=x,tanβ=y,记y=f(x).
(1)求证:
tan(α+β)=2tanα;
(2)求f(x)的解析表达式;
(3)若角α是一个三角形的最小内角,试求函数f(x)的值域.
变式迁移3求证:
sin2xsinx+cosx-1sinx-cosx+1
=1+cosxsinx.
转化与化归思想的应用
例(12分)(2010•江西)已知函数f(x)=
1+1tanxsin2x+msinx+π4sinx-π4.
(1)当m=0时,求f(x)在区间π8,3π4上的取值范围;
(2)当tanα=2时,f(α)=35,求m的值.
【答题模板】
解
(1)当m=0时,f(x)=1+cosxsinxsin2x
=sin2x+sinxcosx=1-cos2x+sin2x2
=122sin2x-π4+1,3分]
由已知x∈π8,3π4,得2x-π4∈0,5π4,4分]
所以sin2x-π4∈-22,1,5分]
从而得f(x)的值域为0,1+22.6分]
(2)f(x)=sin2x+sinxcosx-m2cos2x
=1-cos2x2+12sin2x-m2cos2x
=12sin2x-(1+m)cos2x]+12,8分]
由tanα=2,得sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=45,
cos2α=cos2α-sin2αcos2α+sin2α=1-tan2α1+tan2α=-35.10分]
所以35=1245+351+m+12,11分]
解得m=-2.12分]
【突破思维障碍】
三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等,将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果.化简三角函数式的基本要求是:
(1)能求出数值的要求出数值;
(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少;
(3)分式中的分母尽量不含根式等.
1.求值中主要有三类求值问题:
(1)“给角求值”:
一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.
(2)“给值求值”:
给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.
(3)“给值求角”:
实质是转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角.
2.三角恒等变换的常用方法、技巧和原则:
(1)在化简求值和证明时常用如下方法:
切割化弦法,升幂降幂法,和积互化法,辅助元素法,“1”的代换法等.
(2)常用的拆角、拼角技巧如:
2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,α=(α-β)+β,α+β2=α-β2+β-α2,α2是α4的二倍角等.
(3)化繁为简:
变复角为单角,变不同角为同角,化非同名函数为同名函数,化高次为低次,化多项式为单项式,化无理式为有理式.
消除差异:
消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异.
(满分:
75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2011•平顶山月考)已知0A.13B.-13C.16D.-16
2.已知tan(α+β)=25,tanβ-π4=14,那么tanα+π4等于()
A.1318B.1322C.322D.16
3.(2011•石家庄模拟)已知cos2α=12(其中α∈-π4,0),则sinα的值为()
A.12B.-12C.32D.-32
4.若f(x)=2tanx-2sin2x2-1sinx2cosx2,则fπ12的值为()
A.-433B.8
C.43D.-43
5.(2010•福建厦门外国语学校高三第二次月考)在△ABC中,若cos2B+3cos(A+C)+2=0,则sinB的值是()
A.12B.22C.32D.1
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.(2010•全国Ⅰ)已知α为第二象限的角,且sinα=35,则tan2α=________.
7.函数y=2cos2x+sin2x的最小值是________.
8.若cos2αsinα-π4=-22,则cosα+sinα的值为________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)化简:
(1)cos20°
cos40°
cos60°
cos80°
;
(2)3-4cos2α+cos4α3+4cos2α+cos4α.
10.(12分)(2011•南京模拟)设函数f(x)=3sinxcosx-cosxsinπ2+x-12.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)当∈0,π2时,求函数f(x)的最大值和最小值.
11.(14分)(2010•北京)已知函数f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx.
(1)求f(π3)的值;
(2)求f(x)的最大值和最小值.
答案自主梳理
1.
(1)2sinαcosα
(2)cos2α-sin2α2cos2α2sin2α
(3)2tanα1-tan2α2.
(1)12sin2α
(2)1-cos2α21+cos2α22cos2α22sin2α2(sinα±
cosα)2
1.C2.C3.B4.D
课堂活动区
例1解题导引化简的原则是形式简单,三角函数名称尽量少,次数尽量低,最好不含分母,能求值的尽量求值.本题要充分利用倍角公式进行降幂,利用配方变为复合函数,重视复合函数中间变量的范围是关键.
解y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x
=7-2sin2x+4cos2x(1-cos2x)
=7-2sin2x+4cos2xsin2x
=7-2sin2x+sin22x=(1-sin2x)2+6,
由于函数z=(u-1)2+6在-1,1]中的最大值为zmax=(-1-1)2+6=10,最小值为zmin=(1-1)2+6=6,
故当sin2x=-1时,y取得最大值10,
当sin2x=1时,y取得最小值6.
变式迁移1解
(1)f(x)
=1+cos2x2-2cos2x-1sinπ4+xsinπ4-x
=cos22xsinπ4+xcosπ4+x
=2cos22xsinπ2+2x=2cos22xcos2x=2cos2x,
∴f-11π12=2cos-11π6=2cosπ6=3.
(2)g(x)=cos2x+sin2x
=2sin2x+π4.
∵x∈0,π4,∴2x+π4∈π4,3π4,
∴当x=π8时,g(x)max=2,
当x=0时,g(x)min=1.
例2解题导引
(1)这类问题一般是先化简再求值;
化简后目标更明确;
(2)如果能从已知条件中求出特殊值,应转化为特殊角,可简化运算,对切函数通常化为弦函数.
解由sin(π4+2α)•sin(π4-2α)
=sin(π4+2α)•cos(π4+2α)
=12sin(π2+4α)=12cos4α=14,
∴cos4α=12,又α∈(π4,π2),故α=5π12,
∴2sin2α+tanα-1tanα-1
=-cos2α+sin2α-cos2αsinαcosα
=-cos2α+-2cos2αsin2α
=-cos5π6-2cos5π6sin5π6=532.
变式迁移2解
(1)∵α是第一象限角,cosα=513,
∴sinα=1213.
∴sinα+π4cos2α+4π=22sinα+cosαcos2α
=22sinα+cosαcos2α-sin2α
=22cosα-sinα=22513-1213=-13214.
(2)cos(2α+π4)=cos2αcosπ4-sin2αsinπ4
=22(cos2α-sin2α),
∵π2≤α∴3π4≤α+π4又cos(α+π4)=35>
0,
故可知32π∴sin(α+π4)=-45,
从而cos2α=sin(2α+π2)
=2sin(α+π4)cos(α+π4)
=2×
(-45)×
35=-2425.
sin2α=-cos(2α+π2)
=1-2cos2(α+π4)
=1-2×
(35)2=725.
∴cos(2α+π4)=22(cos2α-sin2α)=22×
(-2425-725)
=-31250.
例3解题导引本题的关键是第
(1)小题的恒等式证明,对于三角恒等式的证明,我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同,特别是分析已知和要求的角之间的关系,再分析函数名之间的关系,则容易找到思路.证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异,有目的地化繁为简,左右归一或变更论证.对于第
(2)小题同样要从角的关系入手,利用两角和的正切公式可得关系.第(3)小题则利用基本不等式求解即可.
(1)证明由sin(2α+β)=3sinβ,得sin(α+β)+α]
=3sin(
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