届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第12讲函数模型及其应用精选教案理Word文档下载推荐.docx
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在(0,+∞)上的单调性
单调递增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x值增大,图象与y轴接近平行
随x值增大,图象与x轴接近平行
随n值变化而不同
2.几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数型函数模型
f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>
0且a≠1,b≠0)
对数型函数模型
f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>
幂函数型函数模型
f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0)
3.解决函数应用问题的步骤
(1)审题:
弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型.
(2)建模:
将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型.
(3)解模:
求解数学模型,得出数学结论.
(4)还原:
将数学问题还原为实际意义.
1.思维辨析(在括号内打“√”或“×
”).
(1)函数y=2x的函数值在(0,+∞)上一定比y=x2的函数值大.( ×
)
(2)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>
1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a>
0)的增长速度.( √ )
(3)“指数爆炸”是指数型函数y=a·
bx+c(a≠0,b>
0,b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( ×
(4)指数函数模型一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题.( √ )
解析
(1)错误.当x∈(0,2)和(4,+∞)时,2x>
x2,当x∈(2,4)时,x2>
2x.
(2)正确.由两者的图象易知.
(3)错误.增长越来越快的指数型函数是y=a·
bx+c(a>
0,b>
1).(4)正确.根据指数函数y=ax(a>
1)的函数值增长特点易知.
2.已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是( B )
A.f(x)>
g(x)>
h(x) B.g(x)>
f(x)>
h(x)
C.g(x)>
h(x)>
f(x) D.f(x)>
g(x)
解析 由图象知,当x∈(4,+∞)时,增长速度由大到小依次为g(x)>
h(x).
3.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据,如下表.
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
-0.99
0.01
0.98
2.00
则x,y最适合的函数的是( D )
A.y=2x B.y=x2-1
C.y=2x-2 D.y=log2x
解析 根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A项;
将x=2.01,y=0.98代入计算,可以排除B项,C项;
将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意,故选D.
4.一根蜡烛长20cm,点燃后每小时燃烧5cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为下图中的( B )
解析 由题意知h=20-5t(0≤t≤4),故选B.
5.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=
x2+2x+20(万元).一万件售价是20万元,为获取最大利润,该企业一个月应生产该商品数量为( B )
A.36万件 B.18万件
C.22万件 D.9万件
解析 利润L(x)=20x-C(x)=-
(x-18)2+142,当x=18时,L(x)有最大值.
一 二次函数模型
在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时,一定要注意自变量的取值范围,需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解,解决函数应用问题时,最后还要还原到实际问题.
【例1】为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为y=
x2-200x+80000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元.则该单位每月能否获利?
如果获利,求出最大利润;
如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?
解析 设该单位每月获利为S,则S=100x-y
=100x-
=-
x2+300x-80000
(x-300)2-35000,
因为400≤x≤600,所以当x=400时,S有最大值-40000.故该单位不获利,需要国家每月至少补贴40000元,才能不亏损.
二 指数函数、对数函数模型
一般地,涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分裂问题等,都可以考虑用指数函数的模型求解.求解时注意指数式与对数式的互化、指数函数值域的影响以及实际问题中的条件限制.
【例2】
(1)某食品的保鲜时间y(单位:
小时)与储藏温度x(单位:
℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是( C )
A.16小时 B.20小时
C.24小时 D.28小时
(2)(2016·
四川卷)某公司为激励创新,计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发奖金130万元,在此基础上,每年投入的研发奖金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据:
lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)( B )
A.2018年 B.2019年
C.2020年 D.2021年
解析
(1)由已知条件,得192=eb,∴b=ln192.
又∵48=e22k+b=e22k+ln192=192e22k=192(e11k)2,
∴e11k=
=
.
设该食品在33℃的保鲜时间是t小时,
则t=e33k+ln192=192e33k=192(e11k)3=192×
3=24.
(2)设第n(b∈N*)年该公司年投入的研发资金开始超过200万元.根据题意得130(1+12%)n-1>
200,
则lg[130(1+12%)n-1]>
lg200,∴lg130+(n-1)lg1.12>
lg2+2,
∴2+lg1.3+(n-1)lg1.12>
lg2+2,∴0.11+(n-1)×
0.05>
0.30,
解得n>
,又∵n∈N*,∴n≥5,∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年,故选B.
三 分段函数模型
(1)很多实际问题中,变量间的关系不能用一个关系式给出,这时就需要构建分段函数模型.
(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法.在求分段函数的最值时,应先求每一段上的最值,然后比较得最大值、最小值.
【例3】已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且R(x)=
(1)写出年利润W(万元)关于年产品x(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?
(注:
年利润=年销售收入-年总成本)
解析
(1)当0<
x≤10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x-
-10;
当x>
10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98-
-2.7x.
∴W=
(2)①当0<
x≤10时,令W′=8.1-
=0,得x=9,可知当x∈(0,9)时,W′>
0,当x∈(9,10]时,W′<
0,
∴当x=9时,W取极大值,即最大值,
且Wmax=8.1×
9-
×
93-10=38.6.
②当x>
10时,W=98-
≤98-2
=38,当且仅当
=2.7x,即x=
时,W=38,故当x=
时,W取最大值38(当1000x取整数时,W一定小于38).
综合①②知,当x=9时,W取最大值,故当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大.
四 函数y=x+
(a>
0)模型
函数y=x+
0)在[-
,0)和(0,
]上单调递减,在(-∞,-
]和[
,+∞)上单调递增(函数单调性定义法、导数方法均可证明),如图所示,函数图象无限趋近于直线y=x,但永不相交.当
在函数的定义域内时,可以使用基本不等式求最小值,当
不在函数的定义域内时,根据函数的单调性求最小值.
【例4】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:
万元)与隔热厚度x(单位:
cm)满足关系C(x)=
(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.
解析
(1)由已知得C(0)=8,则k=40,
因此f(x)=6x+20C(x)=6x+
(0≤x≤10).
(2)f(x)=6x+10+
-10≥2
-10=70(万元),
当且仅当6x+10=
,即x=5时等号成立.
所以当隔热层厚度为5cm时,总费用f(x)达到最小值,最小值为70万元.
1.李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店,其月利润(单位:
元)分别为L1=-5x2+900x-16000,L2=300x-2000(其中x为销售辆数),若某月两连锁店共销售了110辆,则能获得的最大利润为( C )
A.11000元 B.22000元
C.33000元 D.40000元
解析 设甲连锁店销售x辆,则乙连锁店销售(110-x)辆,故利润L=-5x2+900x-16000+300(110-x)-2000=-5x2+600x+15000=-5(x-60)2+33000,所以当x=60时,有最大利润33000元,故选C.
2.国家规定个人稿费纳税办法为:
不超过800元的不纳税;
超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税;
超过4000元的按全部稿费的11%纳税.某人出版了一本书共纳税420元,则他的稿费为( B )
A.3000元 B.3800元
C.3818元 D.5600元
解析 根据题意,若稿费为4
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- 高考 数学 一轮 复习 第二 函数 导数 及其 应用 12 模型 精选 教案
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