数学物理方程学习指导书第8章贝塞尔函数讲解Word下载.docx
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表示,即
………………………………………………
由此知(8.2)的一般项为
是一个任意常数,取定后就得(8.1)式的一个特解.我们把
取作
,
这样选取
可使一般项系数中2的次数与
的次数相同,并可以运用下列恒等式
使分母简化,这样选
后,一般项的系数就整齐了
(8.3)
以(8.3)代入(8.2)得到(8.1)的一个特解
用级数的比值判别法(或称达朗倍尔判别法)可以判定这个级数在整个数轴上收敛.这个无穷级数所确定的函数,称为
阶第一类贝塞尔函数,记作
(8.4)
至此,我们就求出了贝塞尔方程的一个特解
当
为正整数或零时,
,故有
(8.5)
取
时,用同样方法可得(8.1)式另一特解
(8.6)
比较(8.4)式与(8.6)式可见,只要在(8.4)的右端把
换成
,即可得到(8.6)式,因此不论
是正数还是负数,总可以用(8.4)式统一地表达第一类贝塞尔函数.
不为整数时,这两个特解
与
是线性无关的,由齐次线性微分主程的通解的结构定理知道,(8.1)的通解为
(8.7)
为两个任意常数.
当然,在
不为整数的情况,方程(8.1)的通解除了可以写成(8.7)式以外还可写成其他的形式,只要能够找到该方程另一个与
线性无关的特解,它与
就可构成(8.1)的通解,这样的特解是容易找到的.例如,在(8.7)中取
则得到(8.1)的一个特解
整数)(8.8)
显然,
是线性无关的,因此,(8.1)的通解可写成
(8.7)’
由(8.8)式所确定的函数
称为第二类贝塞尔函数,或称牛曼函数.
8.2当
为整数时贝塞尔方程的通解
上一节说明,当
不为整数时,贝塞尔方程(8.1)的通解由(8.7)或(8.7)’式确定,当
为整数时,(8.1)的通解应该是什么样子呢?
首先,我们证明当
为整数时,
是线性相关的,事实上,我们不妨设
为正整数
(这不失一般性,因
为负整数时,会得到同样的结果),则在(8.6)中,
时均为零,这时级数从
起才开始出现非零项,于是(8.6)可以写成
即
线性相关,这时
已不能构成贝塞尔方程的通解了.为了求出贝塞尔方程的通解,还要求出一个与
线性无关的特解.
取哪一个特解?
自然我们想到第二类贝塞尔函数.不过当
为整数时(8.8)的右端没有意义,要想把整数阶贝塞尔方程的通解也写成(8.7)’的形式,必须先修改第二类贝塞尔函数的定义.在
为整数的情况,我们定义第二类贝塞尔函数为
(
=整数).(8.9)
由于当
,所以上式右端的极限是
形式的不定型的极限,应用洛必塔法则并经过冗长的推导(可参阅A.Ⅱ.萨波洛夫斯基著《特殊函数》,魏执权等译,中国工业出版社出版),最后得到
(8.10)
称为欧拉常数.
根据这个函数的定义,它确是贝塞尔方程的一个特解,而且与
是线性无关的(因为当
时,
为有限值,而
为无穷大).
综合上面所述,不论
是否为整数,贝塞尔方程(8.1)的通解都可表示为
为任意常数,
为任意实数.
8.3贝塞尔函数的递推公式
不同阶的贝塞尔函数之间不是彼此孤立的,而是有一定的联系,本节我们来建立反映这种联系的递推公式.
首先考察零阶与一阶贝塞尔函数之间的关系.
在(8.5)中令
及
得:
取出第一个级数的第
项求导数,得
这个式子正好是
中含
这一项的负值,且知
的第一项导数为零,故得关系式
(8.11)
将
乘以
并求导数,又得
(8.12)
以上结果可以推广,现将
求导数,得
(8.13)
同理可得
(8.14)
将(8.13)和(8.14)两式展开,并经过化简,则分别得
将这两式相减及相加,分别得到
(8.15)
(8.16)
以上几式便是贝塞尔函数的递推公式.它们在有关贝塞尔函数的分析运算中甚为有用.特别值得一提的是,应有(8.15)式可以用较低阶的贝塞尔函数把较高阶的贝塞尔函数表示出来.因此如果我们已有零阶与一阶贝塞尔函数表,则利用此表和(8.15),即可计算任意正整数阶的贝塞尔函数的数值.
第二类贝塞尔函数也满足与第一类贝塞尔函数相类似的递推公式.
(8.17)
作为递推公式的一个应用,我们来考虑半奇数阶的贝塞尔函数,先计算
由(8.4)可得
而
从而
(8.18)
同理,可求得
(8.19)
利用递推公式(8.15)得到
.
一般言之,有
(8.20)
从(8.20)可能看出,半奇数阶的贝塞尔函数都是初等函数.
8.4贝塞尔函数的零点与模值
贝塞尔方程的固有值与固有函数都与贝塞尔函数的零点有密切关系.同时,为了将一个函数按贝塞尔函数展开,需要用到贝塞尔函数的模值.本节我们来叙述贝塞尔函数零点的有关结论并计算贝塞尔函数的模值.
6.4.1贝塞尔函数的零点
第一类贝塞尔函数
的零点的几个重要结论:
有无穷多个单重实零点,且这无穷多个零点在
轴上关于原点是对称分布着的.因而
必有无穷多个正的零点;
的零点与
的零点是彼此相间分布的,即
的任意两个相邻零点之间必存在一个且仅有一个
的零点;
图8-1
以
表示
的正零点,则
时无限地接近于
,即
几乎是以
为周期的周期函数.
的图形见图8-1.
为了便于工程技术上的应用,贝塞尔函数零点的数值已被详细计算出来,并列成表格.下表给出了
的前9个正零点
的近似值.
n
m
1
2
3
4
5
2.405
3.832
5.136
6.380
7.588
8.771
5.520
7.016
8.417
9.761
11.065
12.339
8.654
10.173
11.620
13.015
14.373
15.700
11.792
13.324
14.796
16.223
17.616
18.980
14.931
16.471
17.960
19.409
20.827
22.218
6
18.071
19.616
21.117
22.583
24.019
25.430
7
21.212
22.760
24.270
25.748
27.199
28.627
8
24.352
25.904
27.421
28.908
30.371
31.812
9
27.493
29.047
30.569
32.065
33.537
34.989
6.4.2贝塞尔函数的模值
所谓贝塞尔函数的模值就是指定积分
的平方根,其中
是
的正零点,a为一正常数.
为了计算这个积分,以
分别表示下列函数
为任意参数).
则
分别满足方程
乘第一个方程减去以
乘第二个方程,然后对
从0到a积分,得
由此可得
时,上式右端是
型,利用洛必塔法则计算这个极限,得
这个公式在下节计算傅里叶-贝塞尔级数的系数时就要用到.
8.5贝塞尔方程的边值问题
在7.1中,我们已将求解圆盘的温度分布问题通过分离变量法转化成求解贝塞尔方程的固有值问题.
方程(8.21)的通解为
由条件(8.23)可得
利用条件(8.22)得
应该是
的零点,以
的正零点,则方程(8.21)的固有值为
),
与这些固有值相对应的边值问题(8.21)—(8.23)的固有函数是
根据施特姆-刘维尔理论,
关于权函数
是正交的,即
同时,下述展开定理成立:
任何一个下两次可微的函数
,若在
处有界,而且在
处等于零,则它可以展开为绝对一致收敛的傅里叶-贝塞尔级数:
(8.25)
其中系数
可用下述方法确定:
在展开式(8.25)的两端同乘以
并对
从0到a积分,由正交关系式(8.24)得
利用前面计算过的贝塞尔函数的模值公式得到
(8.26)
下面我们举两个例子,说明用贝塞尔函数求解定解问题的全过程.
例1设有半径为1的薄均匀圆盘,边界上温度为零,初始时刻圆盘内温度分布为
,其中
是圆盘内任一点的极半径,求圆内温度分布规律.
解根据问题的要求,即可归结为求解下列定解问题:
采用极坐标系,并考虑到定解条件与
无关,所以温度
只能是
的函数,于是上述问题可写为
此外,由物理意义,还有条件
令
代入方程(8.27)得
或
由此得
(8.30)
(8.31)
方程(8.31)的解为
,时
只能小于零,令
此时方程(8.30)的通解为
的有界性,可知
,再由(8.28)得
综合以上结果可得
从而
利用叠加原理,可得原问题的解为
由条件(8.29)
因
即
故得
另外
所以,所求定解问题的解为
(8.32)
的正零点.
例2求下列定解问题
的解.
解用分离变量法来解,令
采用例1中同样的运算,可以得到
(8.36)
(8.37)
在
处的有界性,可知
(8.38)
再根据边界条件(8.34)中第一式,得
因
不能为零,故有
利用贝塞尔函数的递推公式(8.11)可得
的正零点,以
的所有正零点,则
(8.39)
将(8.39)分别代入(8.38),(8.37),得
利用叠加原理可得原定解问题的解为
将条件(8.35)代入上式得
(8.40)
(8.41)
由(8.40)得
由(8.41)并利用下面的结果(见习题八第14题):
如果
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