高等代数北大版课件习题课:正交矩阵的性质PPT文件格式下载.ppt
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林志兴杨忠鹏2003.06.05,习题课正交矩阵的性质,一、正交矩阵的定义及简单性质,二、有限维欧氏空间里的正交矩阵,三、正交矩阵的特征根,一、正交矩阵的定义及简单性质,问题正交矩阵之和?
1定义,若称A为正交矩阵,2运算性质正交矩阵之积为正交阵,正交矩阵的转置为正交阵,正交矩阵的伴随矩阵为正交矩阵,数乘正交矩阵?
A为正交矩阵,A为正交矩阵,A为正交矩阵,3正交矩阵的判定,的关系如何?
元素与其余子式,代数余子式,当某时,,的上界?
问题:
的上界?
二、有限维欧氏空间里的正交矩阵,空间的一组标准正交基。
A为正交矩阵A的行(列)向量组是n维行(列)向量,1矩阵,则,2n维欧氏空间的一组标准正交基,,矩阵满足,则为标准正交基A为正交矩阵,A是正交变换A为正交矩阵,则,标准正交基,若,3A为n维欧氏空间的线性变换,是一组,A,,A为第二类的,若。
A为第一类的(旋转),若;
4n维欧氏空间的正交变换的分类,使,即,对角矩阵,向量,即A在下的矩阵为实,存在标准正交基是A的特征,A为对称变换,则,标准正交基,且A,,5A为n维欧氏空间的线性变换,为一组,1在不同的教材上曾出现下面的命题,三、正交矩阵的特征根,正交矩阵的特征根的模等于1。
正交矩阵的实特征根为1或1;
正交变换的特征根为1或1;
可得,即,注意此时由
(1)和
(2),对
(1)两边取共轭转置,
(2),
(1),的证明:
设为维非零复向量,为复数,且,2正交矩阵A的特征根,共轭出现的。
当时,由(3)知A的非实的复特征根是成对,这里为矩阵A的所有特征根,iii),ii),i),(3),特征多项式,正交矩阵的特征根,这里,为非负整数,且,非实特征根,负特征根(4),正特征根,ii)可设,非实特征根为成对共轭与出现,且,实特征根为1或1,i)分类,3正交矩阵A的行列式,,是1作为A的特征根的重数(5),即,在(4)之下,或1(简单证明,由定义给出),4正交矩阵的三类特征根,特征根为1或1。
n为奇数时,与的奇偶性相反,且至少有1个,n为偶数时,与的奇偶性相同,5n维欧氏空间中的正交变换A特征根的存在情况,若A有特征根,则特征根1的重数与n的奇偶性相同。
相同。
A必以1为特征根且重数为奇数,特征根1的重数与n的奇偶性,A为第二类的即,若A有特征根,则特征根1的重数为偶数,特征根1的重数,与n的奇偶性相同,A为第一类的即,才是A的特征根,约定当不是特征根时,其重数为0:
注意此时A与在标正基下的正交矩阵A的对应关系,A的实特征根,设A是33正交阵且证明A的特征多项式为,这里,,,证明第二类正交变换一定以1作为它的一个特征值。
特征值。
证明奇数维欧氏空间中的旋转一定以1作为它的一个,6问题,与进一步的结论?
iii),,ii),i),考虑A的所有特征值的可能性,
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