直线与圆圆与圆位置关系知识点总结经典例题解析近年高考题及答案Word文件下载.docx
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设两圆圆心分别为
,半径为
,则
圆
有4条公切线
外切
有3条公切线
有2条公切线
内切
有1条公切线
内含
有0条公切线.
(2)代数法:
方程组
有两组不同的实数解
两圆相交;
有两组相同的实数解
两圆相切;
无实数解
两圆外离或内含。
【经典例题】
【例1】
(2012广东文)在平面直角坐标系
中,直线
相交于
两点,则弦
的长等于( )
A.
B.
C.
D.1
【答案】B
【解析】圆心到直线的距离为
所以弦
的长等于
.
【例2】
(2012重庆理)对任意的实数k,直线
的位置关系一定是( )
A.相离B.相切
C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心
【答案】C
【解析】圆心
到直线
的距离为
且圆心
不在该直线上.
法二:
恒过定点
而该点在圆
内,且圆心不在该直线上,故选C.
【例3】
(2012福建)直线
两点,则弦AB的长度等于()
A.
【解析】求弦长有两种方法,一、代数法:
联立方程组
,解得A、B两点的坐标为
,所以弦长
;
二、几何法:
根据直线和圆的方程易知,圆心到直线的距离为
,又知圆的半径为2,所以弦长
【例4】
(2012安徽)若直线
有公共点,则实数
取值范围是()
]B.
C.
D.
【解析】圆
的圆心
,
则
【例5】
(2012山东)圆
的位置关系为()
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
【解析】两圆的圆心分别为
,半径分别为
两圆的圆心距离为
,所以两圆相交,选B.
【例6】
(2012江西)过直线
上点
作圆
的
两条切线,若两条切线的夹角是60°
,则点
的坐标是__________.
【答案】
【解析】如图:
由题意可知
由切线性质可知
在直角三角形
中,
.设点
,
整理得
所以
,即点
的坐标为
.
法二:
如图:
由切线性质可知
在直角三角形
,圆心到直线的距离为
,所以
垂直于直线
,由
,解得
,即点P的坐标为
。
【例7】
(2009四川)若⊙
与⊙
相交于A、B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是.
【答案】4
【解析】由题知
,且
,又
,所以有
【例8】
(2011福建)已知直线
:
(I)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线
相切与点P,且点P在y轴上,求该圆的方程;
(II)若直线
关于x轴对称的直线为
,问直线
与抛物线C:
是否相切?
说明理由。
当
=1时,直线
与抛物线C相切,当
≠1时,直线
与抛物线C不相切.
【解析】
(I)由题意知
(0,
),∵以点
(2,0)为圆心的圆与直线
相切与点
∴
=
解得
=2,∴圆
的半径
∴所求圆
的方程为
(II)∵直线
关于
轴对称的直线为
∈
,代入
得
<1时,
>0,直线
与抛物线C相交;
=1时,
=0,直线
与抛物线C相切;
>1时,
<0,直线
与抛物线C相离.
综上所述,当
【例9】已知圆
,圆
,m为何值时,
(1)圆
相外切;
(2)圆
内含.
外切;
时,圆
【解析】对于圆
的方程,配方得:
(1)如果圆
外切,则有
(2)如果圆
内含,则有
【例10】
(2011广东)设圆C与两圆
中的一个内切,另一个外切.
(1)求C的圆心轨迹L的方程;
(2)已知点M(
),F(
,0),且P为L上动点.求||MP|-|FP||的最大值及此时点P的坐标.
(
,-
)
(1)两圆的圆心分别为A(-
,0),B(
,0),半径为2,设圆C的半径为r.由题意得|CA|=r-2,|CB|=r+2或|CA|=r+2,|CB|=r-2,
两式相减得|CA|-|CB|=-4或|CA|-|CB|=4,即||CA|-|CB||=4.
则C的轨迹为双曲线,其中2a=4,c=
,b2=1
∴圆C的圆心轨迹L的方程为
(2)由
(1)知F为双曲线L的一个焦点,如图,
连MF并延长交双曲线于一点P,此时|PM|-|PF|=|MF|为||PM|-|FP||的最大值.
又
MF的方程为
即
代入x2-4y2=4并整理得
解得x=
或x=
=
显然x=
为点P的横坐标,点P的纵坐标为
即||MP|-|FP||的最大值为2,此时点P的坐标为(
).
【课堂练习】
1、(2012辽宁)将圆
平分的直线是( )
C.
2.(2012重庆)设
为直线
的两个交点,则
( )
A.1B.
D.2
3.(2012陕西)已知圆
是过点
的直线,则( )
与
相交B.
相离D.以上三个选项均有可能
4.(2012湖北)过点
的直线
,将圆形区域
分成两部分,使这两部分的面积之差最大,则该直线
的方程为()
5.(2012天津理)设
,若直线
相切,则
的取值范围是()
6.(2009辽宁理)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为()
A.
B.
C.
D.
7.(2009重庆理)直线
A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离
8.(2006陕西理)过原点且倾斜角为
的直线被圆
所截得的弦长为()
B.2C.
D.2
9.(2011江西)如图,一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动,M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周,点M,N在大圆内所绘出的图形大致是()
10.(2012江苏)在平面直角坐标系
中,圆
上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆
有公共点,则
的最大值是.
11.(2012浙江)定义:
曲线
上的点到直线
的距离的最小值称为曲线
的距离.已知曲线C1:
到直线
的距离等于曲线C2:
x2+(y+4)2=2到直线
的距离,则实数
______.
12.(2012天津文)设
若直线
轴相交于点
与y轴相交于B,且
相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则
面积的最小值为.
13.(2010宁夏)过点A(4,1)的圆C与直线
相切于点B(2,1).则圆C的方程为.
14.(2010江苏)在平面直角坐标系xOy中,已知圆
上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是___________.
15.(2008广东理)经过圆
,且与直线
垂直的直线是.
16.(2011江苏)
若
则实数m的取值范围是______________.
17.(2006广东)以点(2,
)为圆心且与直线
相切的圆的方程是.
18.(2012全国大纲)已知抛物线
有一个公共点
,且在点
处两曲线的切线为同一直线
(Ⅰ)求
(Ⅱ)设
是异于
且与
及
都相切的两条直线,
的交点为
,求
到
的距离.
19.(2012湖南理)在直角坐标系
中,曲线
上的点均在圆
外,且对
上任意一点
的距离等于该点与圆
上点的距离的最小值.
(1)求曲线
的方程;
(2)设
为圆
外一点,过
的两条切线,分别与曲线
相交于点
和
证明:
在直线
上运动时,四点
的纵坐标之积为定值.
20.(2008江苏)在平面直角坐标系
中,已知圆
和圆
(1)若直线
过点
,且被圆
截得的弦长为
,求直线
(2)设P为平面上的点,满足:
存在过点P的无穷多对互相垂直的直线
,它们分别与圆
相交,且直线
被圆
截得的弦长与直线
截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标。
【课后作业】
1.(2011安徽文)若直线3x+y+a=0过圆
的圆心,则a的值为()
A.−1B.1C.3D.−3
2.(2010广东)若圆心在x轴上、半径为
的圆O位于y轴左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆O的方程是()
3.(2009重庆)圆心在
轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为()
D.
4.(2009上海)过圆
的圆心,作直线分
别交x、y正半轴于点A、B,
被圆分成四部分(如图),
若这四部分图形面积满足
则直线AB有()
A.0条B.1条
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