届二轮专题复习 浙江专用 数学科 材料 专题二 三.docx
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届二轮专题复习浙江专用数学科材料专题二三
第1讲 三角函数的图象与性质
高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容,主要从以下两个方面进行考查:
1.三角函数的图象,主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题,主要以选择题、填空题的形式考查;2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等,主要以解答题的形式考查.
真题感悟
1.(2016·全国Ⅱ卷)若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )
A.x=-(k∈Z)B.x=+(k∈Z)
C.x=-(k∈Z)D.x=+(k∈Z)
解析 由题意将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y=2sin,由2x+=kπ+得函数的对称轴为x=+(k∈Z),故选B.
答案 B
2.(2015·安徽卷)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( )
A.f
(2) (2) C.f(-2) (2)D.f (2) 解析 由于f(x)的最小正周期为π,∴ω=2,即f(x)=Asin(2x+φ),又当x=时,2x+φ=+φ=2kπ-(k∈Z),∴φ=2kπ-(k∈Z),又φ>0,∴φmin=, 故f(x)=Asin(2x+).于是f(0)=A,f (2)=Asin(4+),f(-2)=Asin=Asin,又∵-<-4<4-<<,其中f (2)=Asin=Asin=Asin, f(-2)=Asin =Asin=Asin. 又f(x)在内单调递增, ∴f (2) 答案 A 3.(2016·浙江卷)设函数f(x)=sin2x+bsinx+c,则f(x)的最小正周期( ) A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关 C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关 解析 因为f(x)=sin2x+bsinx+c=-+bsinx+c+,其中当b=0时,f(x)=-+c+,f(x)的周期为π;b≠0时,f(x)的周期为2π.即f(x)的周期与b有关但与c无关,故选B. 答案 B 4.(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在上单调,则ω的最大值为( ) A.11B.9 C.7D.5 解析 因为x=-为f(x)的零点,x=为f(x)的图象的对称轴,所以-=+,得T=(k∈Z),则ω=2k+1(k∈Z),又因为f(x)在上单调,所以-=≤=,即ω≤12,又当k=5时,ω=11,φ=-,f(x)在上不单调;当k=4时,ω=9,φ=,f(x)在上单调,满足题意.由此得ω的最大值为9,故选B. 答案 B 考点整合 1.常用三种三角函数的易误性质 函数 y=sinx y=cosx y=tanx 图象 单调性 在(k∈Z)上单调递增; 在(k∈Z)上单调递减 在-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上单调递增;在2kπ,π+2kπ](k∈Z)上单调递减 在(k∈Z)上单调递增 对称性 对称中心: (kπ,0)(k∈Z); 对称轴: x=+kπ(k∈Z) 对称中心: (k∈Z); 对称轴: x=kπ(k∈Z) 对称中心: (k∈Z) 2.三角函数的常用结论 (1)y=Asin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数; 当φ=kπ+(k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得. (2)y=Acos(ωx+φ),当φ=kπ+(k∈Z)时为奇函数; 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得. (3)y=Atan(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换 热点一 三角函数的图象 微题型1] 三角函数的图象变换 【例1-1】某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表: ωx+φ 0 π 2π x Asin(ωx+φ) 0 5 -5 0 (1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并直接写出函数f(x)的解析式; (2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为,求θ的最小值. 解 (1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-.数据补全如下表: ωx+φ 0 π 2π x π Asin(ωx+φ) 0 5 0 -5 0 且函数表达式为f(x)=5sin. (2)由 (1)知f(x)=5sin, 得g(x)=5sin. 因为y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z. 令2x+2θ-=kπ,解得x=+-θ,k∈Z. 由于函数y=g(x)的图象关于点成中心对称,令+-θ=, 解得θ=-,k∈Z.由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值. 探究提高 在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的,如果x的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向. 微题型2] 由三角函数图象求其解析式 【例1-2】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则f的值为______. 解析 根据图象可知,A=2,=-=, 所以周期T=π,由ω==2. 又函数过点, 所以有sin=1,而0<φ<π. 所以φ=,则f(x)=2sin, 因此f=2sin=1. 答案 1 探究提高 已知图象求函数y=Asin(A>0,ω>0)的解析式时,常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定ω;确定φ常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置. 【训练1】(2016·绍兴模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式; (2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的倍,再把所得的函数图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在区间上的最小值. 解 (1)设函数f(x)的最小正周期为T,由题图可知 A=1,=-=, 即T=π,所以π=,解得ω=2, 故f(x)=sin(2x+φ). 由0=sin可得+φ=kπ,k∈Z, 即φ=kπ-,k∈Z, 因为|φ|<,所以φ=-, 故函数f(x)的解析式为f(x)=sin. (2)根据条件得g(x)=sin, 当x∈时,4x+∈, 所以当x=时,g(x)取得最小值,且g(x)min=. 热点二 三角函数的性质 微题型1] 三角函数性质的应用 【例2-1】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)为奇函数,且函数y=f(x)的图象的两相邻对称轴之间的距离为. (1)求f的值; (2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)的单调递增区间. 解 (1)f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ) =2 =2sin. 因为f(x)为奇函数,所以f(0)=2sin=0, 又0<|φ|<, 可得φ=-,所以f(x)=2sinωx, 由题意得=2·,所以ω=2. 故f(x)=2sin2x. 因此f=2sin=. (2)将f(x)的图象向右平移个单位后, 得到f的图象, 所以g(x)=f=2sin =2sin. 当2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z), 即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)时,g(x)单调递增, 因此g(x)的单调递增区间为(k∈Z). 探究提高 对于函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调区间的求解,其基本方法是将ωx+φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间),求出的区间即为y=Asin(ωx+φ)的增区间(或减区间),但是当A>0,ω<0时,需先利用诱导公式变形为y=-Asin(-ωx-φ),则y=Asin(-ωx-φ)的增区间即为原函数的减区间,减区间即为原函数的增区间. 微题型2] 由三角函数的性质求参数 【例2-2】 (1)(2015·湖南卷)已知ω>0,在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2,则ω=________. (2)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间上具有单调性,且f=f=-f,则f(x)的最小正周期为________. 解析 (1)由得sinωx=cosωx, ∴tanωx=1,ωx=kπ+(k∈Z). ∵ω>0,∴x=+(k∈Z). 设距离最短的两个交点分别为(x1,y1),(x2,y2),不妨取x1=,x2=,则|x2-x1|==. 又结合图形知|y2-y1|==2, 且(x1,y1)与(x2,y2)间的距离为2, ∴(x2-x1)2+(y2-y1)2= (2)2, ∴+ (2)2=12,∴ω=. (2)由f(x)在上具有单调性,得≥-, 即T≥;因为f=f,所以f(x)的一条对称轴为x==;又因为f=-f,所以f(x)的一个对称中心的横坐标为=.所以T=-=,即T=π. 答案 (1) (2)π 探究提高 此类题属于三角函数性质的逆用,解题的关键是借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式,再根据参数范围求解.或者,也可以取选项中的特殊值验证. 微题型3] 三角函数图象与性质的综合应用 【例2-3】设函数f(x)=sin2ωx+2sinωx·cosωx-cos2ωx+λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)若y=f(x)的图象经过点,求函数f(x)在x∈上的值域. 解 (1)因为f(x)=sin2ωx+2sinωx·cosωx-cos2ωx+λ=-cos2ωx+ sin2ωx+λ=2sin+λ,由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴,可得 sin=±1, 所以2ωπ-=kπ+(k∈Z), 即ω=+(k∈Z). 又ω∈,k∈Z,所以k=1,故ω=. 所以f(x)的最小正周期是. (2)由y=f(x)的图象过点,得f=0, 即λ=-2sin=-2sin=-, 即λ=-. 故f(x)=2sin-, ∵x∈, ∴x-∈, ∴函数f(x)的值域为-1-,2-]. 探究提高 求三角函数最值的两条思路: (1)将问题化为y=Asin(ωx+φ)+B的形式,结合三角函数的性质或图象求解; (2)将问题化为关于sinx或cosx的二次函数的形式,借助二次函数的性质或图象求解. 【训练2】(2016·浙江五校联考)已知函数f(x)=cos+sin2x-cos2x. (1)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程; (2)设函数g(x)=f(x)]2+f(x),求g(x)的值域. 解 (1)f(x)=cos2x+sin2x-cos2x =sin. 则f(x)的最小正周期为π, 由2x-=kπ+(k∈Z), 得x=+(k∈Z), 所以函数
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