湖南省长沙市学年高三模拟一数学理试题 Word版含答案.docx
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湖南省长沙市学年高三模拟一数学理试题Word版含答案
2017-2018学年
数学(理工农医类)
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.)
1.设
为虚数单位,则复数
的虚部是()
A.
B.
C.3D.-3
2.记集合
,若
,则
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
3.某空间几何体的三视图中,有一个是正方形,则该空间几何体不可能是()
A.圆柱B.圆锥C.棱锥D.棱柱
4.二项式
展开式中
的系数为()
A.5B.16C.80D.-80
5.已知数列的前4项为2,0,2,0,则依次归纳该数列的通项不可能是()
A.
B.
C.
D.
6.考生甲填报某高校专业意向,打算从5个专业中挑选3个,分别作为第一、第二、第三志愿,则不同的填法有()
A.10种B.60种C.125种D.243种
7.某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响.部分统计数据如下表:
使用智能手机
不使用智能手机
合计
学习成绩优秀
4
8
12
学习成绩不优秀
16
2
18
合计
20
10
30
附表:
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
经计算
,则下列选项正确的是:
()
A.有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响
B.有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响
C.有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响
D.有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响
8.函数
的单调递增区间是()
A.
B.
C.
D.
9.非负实数
满足
,则关于
的最大值和最小值分别为()
A.2和1B.2和-1C.1和-1D.2和-2
10.如果执行如图所示的程序框图,则输出的数
不可能是()
A.0.7B.0.75C.0.8D.0.9
11.已知函数
,则关于
的语句为假的是()
A.
B.
C.
D.
,使得
12.已知双曲线
经过抛物线
的焦点,且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形,则双曲线
的离心率是()
A.2B.
C.
D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.
__________.
14.
的周长等于
,则其外接圆半径等于_________.
15.
分别为双曲线
左、右支上的点,设
是平行于
轴的单位向量,则
的最小值为___________.
16.已知
是定义在
上的偶函数,令
,若
是
的等差中项,则
___________.
三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分)
已知数列
满足
.
(1)求
的通项公式;
(2)求
的前
项和.
18.(本小题满分12分)
空气质量指数(AirQualityIndex,简称
)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照
大小分为六级,
为优;
为轻度污染;
为中度污染;
为重度污染;
为严重污染.
一环保人士记录去年某地某月10天的
的茎叶图如右.
(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(
)的天数;(按这个月总共30天计算)
(2)将频率视为概率,从本月中随机抽取3天,记空气质量优良的天数为
,求
的概率分布列和数学期望.
19.(本小题满分12分)
如图,矩形
垂直于正方形
垂直于平面
.且
.
(1)证明:
面
面
;
(2)求二面角
的余弦值.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆
的离心率为
是
上一点.
(1)求椭圆
的方程;
(2)设
是
分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点,平行于
的直线
交
于异于
的两点
.点
关于原点的对称点为
.证明:
直线
与
轴围成的三角形是等腰三角形.
21.(本小题满分12分)
已知函数
(
为常数)有两个极值点.
(1)求实数
的取值范围;
(2)设
的两个极值点分别为
.若不等式
恒成立,求
的最小值.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图,
是以
为直径的半圆上两点,且
.
(1)若
,证明:
直线
平分
;
(2)作
交
于
.证明:
.
23.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
中,以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求
的直角坐标方程;
(2)曲线
的参数方程为
(
为参数),求
与
的公共点的极坐标.
24.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
设
均为实数.
(1)证明:
.
(2)若
,证明:
.
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
B
C
C
B
A
D
D
A
A
D
二、填空题
13.
14.115.416.4028
三、解答题
17.【解析】
(1)当
时,由题设知
;当
时,由题设
,知
.
两式相减得:
,
即
,
故
的通项公式为
.........................6分
(2)设
的前
项和为
,
则
,
,
两式相减得
...............................................12分
18.【解析】
(1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2,空气质量良的天数为4,故该样本中空气质量优良的频率为
,从而估计该月空气质量优良的天数为
...............5分
(2)由
(1)估计某天空气质量优良的概率为
,
的所有可能取值为0,1,2,3.
,
,
故
的分布列为:
0
1
2
3
显然
..................................12分
19.【解析】解法一:
(1)
如图,设
中点为
,连结
.
不妨设
,
因为
面
,故
,
从而在等腰
,等腰
中分别求得
,
此时在
中有
,
所以
,
因为
是等腰
底边中点,所以
,
所以
平面
,
因此面
面
.............................6分
(2)如图延长
,设交点为
,作
,垂足为
,连结
,
因为
,
所以
面
,
从而
,又因为
,
所以
面
,从而
,
所以
即为二面角
的平面角,
不妨设
,则
在直角
中可求得
,
于是在
中可求得
,
所以二面角
的余弦值为
................................ 12分
解法二:
(1)如图,建立空间直角坐标系
.
不妨设
,
则由题设条件可知:
.
,
设面
的法向量为
,
由
得:
,
可取
,
设面
的法向量为
,
由
知,可取
,
于是
,
所以面
面
................................6分
(2)
,
设面
的法向量为
,
由
得:
,可取
,
因为
平面
,故取平面
的法向量为
,
因此
.
所以二面角
的余弦值为
...................12分
20.【解析】
(1)因为
离心率为
,所以
,
从而
的方程为:
..................................2分
代入
解得:
,
因此
.
所以椭圆
的方程为:
...................................4分
(2)由题设知
的坐标分别为
,
因此直线
的斜率为
,
设直线
的方程为:
,
由
得:
,
当
时,不妨设
,
于是
,
分别设直线
的斜率为
,
则
,
则要证直线
与
轴围成的三角形是等腰三角形,
只需证
,
而
所以直线
与
轴转成的三角形是等腰三角形......................12分
21.【解析】
(1)
,
于是
有两个极值点需要二次方程
有两正根,
设其两根为
,则
,解得
,不妨设
,
此时在
上
上
上
,
因此
是
的两个极值点,符合题意.
所以
的取值范围是
...........................................5分
(2)
于是
,
令
,则
,
因为
,所以
,
于是
在
上单调递减,
因此
.且
可无限接近
,
又因为
,故不等式
等价于
,
所以
的最小值为
......................................12分
22.【解析】
(1)由题设
可知,
,
因为
,所以
,
从而
,因此,
平分
...............................4分
(2)由
知,
,
因为
为直径,所以
,
从而
,又因为
,
所以
,
因此
,
所以
,而
,
所以
..................................10分
23.【解析】
(1)将
代入
得:
........4分
(2)由题设可知,
是过坐标原点,倾斜角为
的直线,
因此
的极坐标方程为
或
,
,
将
代入
,解得:
,
同理,将
代入
得:
,不合题意.
故
公共点的极坐标为
......................................10分
24.【解析】
(1)
;
...........5分
(2)由
(1)知,
,
而
,故
............................10分
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