力学竞赛理论力学部分练习题Word文件下载.docx
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,有
,代入上式可得
作变换,令
,上式可改写为
(3)
对照式
(2)
和式(3)中的系数,有
,
联解之,得
(4)
做一个如图3-2所示的行星齿轮绘图机构,取式(4)中的参数,即可画出
的四叶玫瑰曲线。
二、手指转笔
在你思考问题时有用手指转笔的习惯吗?
请你用下述刚体简化模型,进行分析计算:
(1)本问题与力学中的什么内容有关系?
(2)求出笔绕手指无滑动转一周中,手指作用于笔的正压力和摩擦力的大小;
(3)给出笔与手指间的摩擦因数
随
长度
变化应满足的条件。
手指转笔的刚体简化模型:
如题2图所示,设手指为半径为
的圆柱,笔为一回转半径为
的细直杆(对质心C转动惯量为
)。
设手指保持不动,开始时笔在距质心C距离为
的A处与手指相切,初角速度为
,设
,且杆始终在垂直于手指的同一平面内转动,忽略重力的影响。
(江苏技术师范学院)
题2图
(1)关键词:
平面运动学分析,刚体平面运动微分方程,机械能守恒,。
(2)设某瞬时杆与圆柱相切于点
(圆柱上的点),此时杆绕
旋转的角速度为
,质心C与A距离为
杆对A的转动惯量为
,依题意,A为杆此刻的速度瞬心,由机械能守恒可得
故
(1)
设杆受压力
和摩擦力
,如图4-1(a)所示,
,
分别为质心加速度的径向和切向分量,
为杆转动的角加速度。
(a)(b)
图4-1
点加速度
,由
指向
,且
点的加速度无切向分量,而由基点法可知
(2)
方向如图4-1b所示,其中
代入式
(2)后,投影得
根据刚体平面运动微分方程,可列出
联立求解式(3)和式(4),可得
(5)
(6)
(3)、分析摩擦因数
应满足的条件:
若使杆始终不与圆柱脱离,则摩擦因数
应满足
(7)
因
,对
,(
则
三、小虫在转盘上爬行
一光滑水平面上的圆盘,中心O用无摩擦轴固定,圆盘对此转轴的转动惯量为
在圆盘上P点有一个质量为
的小虫,处于静止状态,如题(a)图所示。
小虫在转盘上爬行将引起转盘的转动。
请你分析计算。
(2)在
时刻小虫开始爬行,当我们在转盘中看到小虫的轨迹如题图(b)所示时(假设小虫相对转盘逆时针运动),试求出转盘转过的角度。
(3)若我们在转盘中看到小虫的轨迹如题图(c)所示的圆弧时,试求出转盘转过的角度,并求出当小虫沿圆弧爬行一周时,转盘转过的角度。
(a)(b)(c)
题3图
五、小虫爬行问题解答
(1)关键词:
点的合成运动,动量矩守恒。
(2)取小虫为动点,定参考系
,动参考系
固连在转盘上,与转盘一起转动。
根据题中提供的条件,转盘和小虫的重力平行于转轴,系统对转轴O的动量矩守恒。
设在
时刻,
为小虫相对于定参考系的速度(即绝对速度),
为小虫相对于转盘参考系的速度,转盘的角速度为
为小虫相对于定参考系的位矢,
为小虫相对于动参考系的位矢,牵连速度
根据点的速度合成公式,有
由于系统对转轴的动量矩守恒,有
在此问题中,
,可以得到
进一步有
设
与
的夹角为
,则上式可以化为
所以,转盘转过的角位移为
将式中的
用小虫在动参考系中爬行的路程
表示,可得转盘转过的角位移为
若用极坐标描述,有
则式(6)可表示为
(8)
从以上可知,转盘转过的角位移由小虫在动参考系中的轨迹决定。
(3)当小虫爬行的轨迹为圆弧时,有
代入式(8),得
(9)
当小虫沿圆弧爬行一周时,将
代入上式,可得转盘转过的角度为
(10)
四、四两拨千斤(南京工程学院)
中国武术中有“四两拨千斤”的招式。
请你分析一下:
(1)“四两拨千斤”与力学中的什么内容有关系?
(2)试用力学原理简要解析一下“四两拨千斤”的关键所在?
(3)试分析图示拔桩装置的力学原理。
(1)力的合成
(2)“四两拨千斤”是用很小的力去改变一个很大的力的方向。
设需改变的力为
,用的力为
,两力的合力为
为有效的改变力的方向,使合力与
间的夹角为最大。
以小力
为半径画一圆,如上图示,由
的起点到圆的切线方向为合力
与原力
间的最大值。
与切线垂直的半径方向为小力的最有效方向。
当
时,
可认为需施加的力与原力方向垂直时作用的效果最为明显。
(3)分析图示装置的力学原理
图示A、B两点的受力为两个力三角形如图示
则:
较小时,
很大,即可用很小的力拉动很大的力
五、自动向上滚的论子
(1)与力学相关的内容
重力做功
(2)力学原理解释轮子上滚的原因
由于轨道与轮子形状特殊,保证轮子的重心在轨道低处时比在高处时高,重力做功时得轮子向上滚。
(3)求直轨道和轮子的尺寸及夹角的关系
设有效轨道的最低处为A,最高处为B,其高度分别为
、
,两端的水平距离为
,以
表示轮子在轨道A、B处与两侧轨道接触点之间的距离。
有上三图:
轮子在A处其重心到轨道底部距离:
轮子在B处其重心到轨道底部距离:
由图三:
由图
(1)(3):
轮子在A、B处重心的高度差:
,即轮子的重心在最低处大于在轨道处的最高处,轮子向上滚动。
即满足:
且:
六、难中的奖
七、火车过桥
建筑工程中常用的钢筋混凝土结构,在设计上希望钢筋承受拉力,混凝土承受压力。
今有一座钢筋混凝土结构的桥梁,如图(
)所示。
在使用中出现了险情:
列车通过时跨中挠度超出了设计要求。
有人说:
这好办,只要中间部位再加一个桥墩就行。
请问:
(1)该问题与力学中的什么内容有关系?
(2)试分析一下加桥墩方案是否可行?
为什么?
(列车通过时可按均布荷载考虑)
(3)请你提出一个可行方案来,并说明理由。
(淮海工学院)
梁的弯曲变形,弯矩,超静定。
(2)不可行。
此结构变成如图(b)所示超静定结构,若设桥的跨度为2L载荷集度
,抗弯刚度为
则按力法求解得:
B点弯矩为
(上侧受拉)。
由此可见:
混凝土上表面出现拉应力,这与设计上混凝土承受压力相矛盾,所以,在中间加一桥墩的方案不可行。
(3)可以考虑所加桥墩与桥底面有一间隙a的办法,如图(c)所示。
首先要求
;
其次按支座移动求解如图(d)所示。
力法方程为:
,得
解得:
所以:
即所设计的间隙为:
八、四人追车
平直轨道上有一节质量
的车厢,速度为
,车厢与铁轨间摩擦可以忽略。
有4个人列队前行,前两个人质量同为
,第3个人质量为
,第4个人质量为
当前两个人发现车厢后,以速度2
追上车厢并且登上去坐下。
第3个人发现较晚,但是也以2.2
的速度追上登上去坐下。
第4个人发现最晚,但最后还是以1.15
速度追上去刚好登上了车厢。
根据以上条件,回答下下列问题:
(2)
有没有关系?
如果有关系,请找出它们与
的关系。
(3)如果其它条件不变,第4个人的质量
增加,登上车厢后坐下,对车厢的速度影响有多大?
(1)动量守恒。
(2)假设第3个人登上去坐下后,车厢的速度为u,
根据动量守恒:
得
又
由上面两式得:
m4与m没有关系。
(3)假设第4个人登上去坐下后,车厢的速度仍然为
,所以如果其他条件不变其的质量对速度没有影响。
V0
Mmmm3m4
九、魔术表演
利用一无底的薄壁圆桶(设半径R),再找两个乒乓球,如果满足
就可以进行魔术表演了:
把两乒乓球如图所示放在圆桶内,那么有时候圆桶会翻倒,有时候不会翻倒。
1、为什么要满足
2、假设圆桶重Q,球重P,圆桶不翻倒需要满足什么条件?
3、要使得圆桶有时候翻倒,有时候不翻倒,这里面有什么“机关”?
解1、
,保证球可以放入桶内。
,保证两球重心不在一水平线,从而产生翻倒力矩。
2、整体受力如图,在临界翻倒的情况下,应有NA=0,对B取矩,有
取两球为研究对象,可得
联立求解,可得:
故要使得圆桶不翻倒,必须满足
3、魔术的机关在于:
2个乒乓球的重量不一样,一个是普通的乒乓球,一个是注水的乒乓球。
表演魔术时,如果先放空心乒乓球再放注水乒乓球,圆桶就会翻倒,若先放注水乒乓球再放空心乒乓球,圆桶不会翻倒。
要满足的条件:
根据2的结果,注水乒乓球的重量
十、绊马索
古代战争中,绊马索常用于拦截敌方的骑兵队伍。
下图为一隐蔽在树林中的绳索,两端系于树根部。
当敌方的骑兵向绊马索的中部冲杀过来时,坐骑可能会被绊倒。
若设绳索的弹性模量为
,强度极限为
,系于两树之间的长度为
,横截面积为
试问:
(2)绳子中部的变形量
与冲击力
的关系?
(3)若绳索的初始张力为
,坐骑与士兵的总质量为
试问,要想冲断绳索,骑兵的极限速度至少为多少?
(南京理工大学)
(1)冲击问题,强度问题
=
=
,得到
(3)能量守恒
故极限速度
十一、飞鸟栖木(南京理工大学)
质量为
的鸟以与圆木垂直的水平速度
站到了圆木的一头。
圆木的质量为
,长度为
,位于结了冰的湖面上。
(1)若要求圆木的运动规律,将使用什么力学原理?
(2)鸟与圆木一起运动时,圆木的质心速度是多少?
(3)鸟与圆木一起运动时,圆木运动的角速度是多少?
(1)动量守恒,动量矩守恒,
(2)动量矩守恒,
质点系质心坐标
由质心坐标计算公式确定,
由平行轴定理确定
(3)动量守恒,
,圆木质心G速度
十二、摆钟调准
某人在新加坡购买一高档精密挂钟,带回北京后发觉时间不准了,经过钟表店仔细检查,发现无任何质量问题,十分迷惑。
后经多方打听,终于找到一钟表专家将其。
问:
(1)该问题涉及何力学原理?
(2)在北京该挂钟每天与标准时间相差多少秒?
(已知:
新加坡纬度为
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