高中数学北师大版选修11《椭圆的简单性质的应用》word导学案.docx
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高中数学北师大版选修11《椭圆的简单性质的应用》word导学案
第3课时 椭圆的简单性质的应用
1.掌握椭圆的简单几何性质及其应用,加强对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力.
2.观察离心率大小变化对椭圆形状的影响,体会数形结合的思想以及数学的对称美、和谐美.
3.探究弦长问题和中点弦问题的解决方法.
上一节我们共同学习了椭圆的概念、椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质,并能利用它们处理简单的椭圆问题.椭圆是学习双曲线和抛物线的基础,对整个圆锥曲线的学习都起着至关重要的作用.椭圆的几何性质有着广泛的应用,如椭圆的离心率、范围及直线与椭圆的位置关系等都是重要考点.
问题1:
对椭圆几何性质的六点说明
(1)椭圆的 决定了椭圆的位置.当a>b>0时,方程
+
=1的焦点在x轴上,方程
+
=1的焦点在y轴上.
(2)椭圆的范围决定了椭圆的大小,即椭圆
+
=1位于四条直线 围成的矩形内.
(3)椭圆的 刻画了椭圆的扁平程度,具体影响如下:
(4)椭圆是轴对称与 图形,具体如下:
(5)椭圆的长轴和短轴都是线段,并不是直线,所以它们有长度,长轴长是 ,短轴长是 .
(6)在椭圆中,a,b,c都具有实际的具体意义,其中a:
长半轴长,b:
短半轴长,c:
半焦距.它们之间的关系是 .
问题2:
设直线l:
y=kx+b,椭圆C:
+
=1(a>b>0),联立两方程,消去y(或x)得到一元二次方程,其判别式记为Δ,则如何判断直线l与椭圆C的位置关系?
若直线l交椭圆C于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点,则线段AB叫作椭圆的弦,那么弦长公式是什么?
①Δ>0⇔l与C ;②Δ=0⇔l与C ;③Δ<0⇔l与C .
|AB|= =
问题3:
椭圆中的几个重要基本量
①通径(过焦点与长轴垂直的弦)的长为 ;
②椭圆上的点到焦点的最大距离和最小距离分别为 和 .
1.若椭圆两焦点为F1(-4,0)、F2(4,0),P在椭圆上,且△PF1F2的最大面积是12,则椭圆方程是( ).
A.
+
=1 B.
+
=1C.
+
=1D.
+
=1
2.已知椭圆
+
=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若
=2
则椭圆的离心率是( ).
A.
B.
C.
D.
3.已知焦点在x轴上的椭圆
+
=1的离心率为
则m= .
4.已知椭圆长轴长是短轴长的2倍,且过点A(2,-6),求椭圆的标准方程.
弦长问题
已知椭圆
+y2=1,过点(2,0)且斜率为1的直线交椭圆于A,B两点,求弦AB的长.
中点弦问题
已知中心在原点且一个焦点为F(0,
)的椭圆被直线y=3x-2截得的弦的中点的横坐标是
求此椭圆方程.
直线与椭圆的位置关系在解题中的应用
已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆相交于P,Q两点,且OP⊥OQ,|PQ|=
求椭圆的方程.
斜率为1的直线l与椭圆
+y2=1相交于A、B两点,求|AB|的最大值.
椭圆mx2+ny2=1与直线x+y=1交于M,N两点,MN的中点为P,且OP的斜率为
则
的值为( ).
A.
B.
C.
D.
已知椭圆
+y2=1和点M(-3,0)、N(0,-2),直线l过点M与椭圆相交于A,B两点.试问:
∠ANB可以为钝角吗?
如果你认为可以,请求出当∠ANB为钝角时,直线l的斜率k的取值范围;如果你认为不能,请加以证明.
1.设AB是过椭圆
+
=1的一个焦点F的弦,若AB的长为
则直线AB的斜率为( ).
A.±
B.±2 C.±1 D.±
2.椭圆
+
=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上.如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标是( ).
A.±
B.±
C.±
D.±
3.椭圆
+
=1的焦点在直线x+ay+3=0的两侧,则a的取值范围为 .
4.已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.
(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.
(2013年·江西卷)椭圆C:
+
=1(a>b>0)的离心率e=
a+b=3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m.证明:
2m-k为定值.
考题变式(我来改编):
第3课时 椭圆的简单性质的应用
知识体系梳理
问题1:
(1)焦点
(2)x=±a,y=±b (3)离心率 (4)中心对称 (5)2a 2b (6)a2=b2+c2
问题2:
①相交 ②相切 ③相离
问题3:
①
②a+c a-c
基础学习交流
1.C 由题意得c=4.∵P在椭圆上,且△PF1F2的最大面积为12,∴
×2c×b=12,即bc=12,∴b=3,a=5,故椭圆方程为
+
=1.
2.D 本题主要考查椭圆及椭圆的几何性质.画出草图,可知△BAF∽△PAO,∴|AP|∶|PB|=|AO|∶|OF|,而|AO|=a,|FO|=c,∴
=2,即e=
.
3.
由题意知a2=2,b2=m,∴c2=2-m.∴
=
∴m=
.
4.解:
(法一)依题意a=2b.
①当焦点在x轴上时,设椭圆方程为
+
=1.
代入点A(2,-6)坐标,得
+
=1,解得b2=37,
∴a2=4b2=4×37=148,
∴椭圆的标准方程为
+
=1.
②当焦点在y轴上时,设椭圆方程为
+
=1.
代入点A(2,-6)坐标得
+
=1,
∴b2=13,∴a2=52.
∴椭圆的标准方程为
+
=1.综上所述,所求椭圆的标准方程为
+
=1或
+
=1.
(法二)设椭圆方程为
+
=1(m>0,n>0,m≠n),
由已知椭圆过点A(2,-6),所以有
+
=1.①
由题设知a=2b,∴m=4n,②
或n=4m,③
由①②可解得n=37,∴m=148.
由①③可解得m=13,∴n=52.
∴所求椭圆的标准方程为
+
=1或
+
=1.
重点难点探究
探究一:
【解析】由题意可得直线方程为y=x-2,与椭圆方程联立
消去y得5x2-16x+12=0,则Δ>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得x1+x2=
x1x2=
.
代入弦长公式得:
|AB|=
·
=
.
【小结】本题也可以求出两个交点的坐标,代入两点间的距离公式求解.
探究二:
【解析】因为椭圆中心在原点,一个焦点为F(0,
),
所以可设椭圆方程为
+
=1,设弦的两端点分别是A(x1,y1),B(x2,y2).
由弦的中点的横坐标是
得中点坐标是(
-
),所以x1+x2=1,y1+y2=-1,
又A,B都在椭圆上,所以
+
=1,
+
=1,
两式相减得:
+
=0,
所以
-
=0⇒
=
=3⇒b2=25,
即所求椭圆方程为
+
=1.
【小结】
(1)领会待定系数法、消元法;
(2)“点差法”经常用来解决弦的中点问题,构造出kAB=
和x1+x2,y1+y2,运用整体代入的方法,求中点或斜率,体现“设而不求”的思想.本题还可以通过联立方程组,用韦达定理建立关于b2的等式.
探究三:
【解析】设所求椭圆的方程为
+
=1,
依题意知点P,Q的坐标满足方程组
将②代入①整理得(a2+b2)x2+2a2x+a2(1-b2)=0.③
设方程③的两个根分别为x1,x2.则由P,Q在直线y=x+1上,且P,Q为直线与椭圆的交点,得P(x1,x1+1),Q(x2,x2+1).
∴
整理得
由④⑤可解得
或
由根与系数的关系以及③式,
得
或
解方程组得
或
故所求椭圆方程为
+
=1或
+
=1.
【小结】在处理直线与椭圆位置关系时,经常需要联立二者方程,转化为一元二次方程的根与系数的关系问题.
思维拓展应用
应用一:
设直线方程为y=x-t,代入椭圆方程得:
5x2-8tx+4t2-4=0,
由Δ>0得-
设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得 x1+x2= x1x2= 代入弦长公式得: |AB|= · ≤ 当t=0时取得最大值. 应用二: A 设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),点P的坐标为(x0,y0), 则m +n =1,m +n =1,两式相减得 m(x1+x2)(x1-x2)+n(y1+y2)(y1-y2)=0, 则 =- · =- ×(-1)= . 应用三: ∠ANB不可能为钝角,证明如下: 如图所示,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=k(x+3). 由 得(1+2k2)x2+12k2x+18k2-2=0. 由根与系数的关系得x1+x2=- ① x1·x2= ② 又∵ =(x1,y1+2), =(x2,y2+2), 若∠ANB为钝角,则 · <0, 即x1·x2+(y1+2)·(y2+2)<0, 即x1·x2+y1·y2+2(y1+y2)+4<0, ③ 而y1=k(x1+3), ④ y2=k(x2+3), ⑤ ∴将④⑤代入③整理得(1+k2)x1x2+(3k2+2k)(x1+x2)+9k2+12k+4<0,⑥ 将①②代入⑥,得(1+k2)· +(3k2+2k)·(- )+9k2+12k+4<0, 整理得33k2+12k+2<0,整理得Δ=144-4×33×2=-120<0,∴k不存在,故∠ANB不可能为钝角. 基础智能检测 1.C 设AB所在直线为y=k(x-1),代入椭圆方程得 (4+5k2)x2-10k2x+5k2-20=0, |AB|= ·|x1-x2| = · = 得k=±1. 2.A 由条件可得F1(-3,0),PF1的中点在y轴上, ∴点P的坐标为(3,y0),又P在 + =1的椭圆上,得y0=± ∴点M的坐标为(0,± ),故选A. 3.(-∞,-1)∪(1,+∞) 焦点(0,±3),(3a+3)(-3a+3)<0,∴a>1或a<-1. 4.解: (1)由 得5x2+2mx+m2-1=0. 因为直线与椭圆有公共
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