高考仿真模拟一Word下载.docx
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解析 设z=x+yi(x∈R,y∈R),则(x+yi)2=-4,即x2-y2+2xyi=-4,所以
解得
所以z=±
2i,|1+z|=|1±
2i|=
,故选D.
3.为了判断高中生选修理科是否与性别有关.现随机抽取50名学生,得到如下2×
2列联表:
理科
文科
合计
男
13
10
23
女
7
20
27
30
50
根据表中数据,得到K2=
≈4.844,若已知P(K2≥3.841)≈0.05,P(K2≥5.024)≈0.025,则认为选修理科与性别有关系出错的可能性约为( )
A.25%B.5%C.1%D.10%
答案 B
解析 由K2≈4.844,对照临界值得4.844>3.841,由于P(K2≥3.841)≈0.05,∴认为选修理科与性别有关系出错的可能性为5%.故选B.
4.执行如图所示的程序框图,若输入ε=0.01,则输出的e精确到ε的近似值为( )
A.2.69B.2.70C.2.71D.2.72
答案 C
解析 显然当n=5时,
=
<
0.01,因此e=1+1+
+
≈2.71,故选C.
5.已知f(x)=
,其中e为自然对数的底数,则( )
A.f
(2)>
f(e)>
f(3)B.f(3)>
f
(2)
C.f(e)>
f
(2)>
f(3)D.f(e)>
f(3)>
解析 f(x)=
,f′(x)=
,令f′(x)=0,解得x=e,当x∈(0,e)时,f′(x)>
0,函数f(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,f′(x)<
0,函数f(x)单调递减,故f(x)在x=e处取得最大值f(e),f
(2)-f(3)=
-
0,∴f
(2)<
f(3),则f(e)>
f
(2),故选D.
6.
6的展开式中x
的系数为( )
A.-12B.12C.-192D.192
答案 A
解析 二项式
6的展开式的通项公式为Tr+1=C
·
(-2)r·
x3-
,令3-
,求得r=1,可得展开式中x
的系数为-12.故选A.
7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1=
,a2a6=8(a4-2),则S2020=( )
A.22019-
B.1-
2019
C.22020-
D.1-
2020
解析 由等比数列的性质及a2a6=8(a4-2),得a
=8a4-16,解得a4=4.又a4=
q3,故q=2,所以S2020=
=22019-
,故选A.
8.将函数y=2sin
cos
的图象向左平移φ(φ>
0)个单位长度,所得图象对应的函数恰为奇函数,则φ的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
解析 根据题意可得y=sin
,将其图象向左平移φ个单位长度,可得y=sin
的图象,因为该图象所对应的函数恰为奇函数,所以
+2φ=kπ(k∈Z),φ=
(k∈Z),又φ>
0,所以当k=1时,φ取得最小值,且φmin=
,故选B.
9.设a=log2018
,b=log2019
,c=2018
,则a,b,c的大小关系是( )
A.a>
b>
cB.a>
c>
b
C.c>
a>
bD.c>
a
解析 因为1=log20182018>
a=log2018
>
log2018
,
b=log2019
log2019
c=2018
20180=1,
故c>
b.故选C.
10.已知函数f(x)=x3-2x+1+ex-
,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤2,则实数a的取值范围是( )
B.
C.
D.
解析 令g(x)=f(x)-1=x3-2x+ex-
,x∈R.则g(-x)=-x3+2x+
-ex=-g(x),∴g(x)在R上为奇函数.∵g′(x)=3x2-2+ex+
≥0-2+2=0,∴函数g(x)在R上单调递增.
∵f(a-1)+f(2a2)≤2可化为f(a-1)-1+f(2a2)-1≤0,即g(a-1)+g(2a2)≤0,即g(2a2)≤-g(a-1)=g(1-a),∴2a2≤1-a,即2a2+a-1≤0,解得-1≤a≤
.∴实数a的取值范围是
.故选C.
11.已知一圆锥的底面直径与母线长相等,一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切,则球与圆锥的表面积之比为( )
解析 设圆锥底面圆的半径为R,球的半径为r,由题意知,圆锥的轴截面是边长为2R的等边三角形,球的大圆是该等边三角形的内切圆,如图所示,所以r=
R,S球=4πr2=
4π·
2=
R2,S圆锥=πR·
2R+πR2=3πR2,所以球与圆锥的表面积之比为
故选B.
12.已知函数f(x)为R上的奇函数,且图象关于点(2,0)对称,且当x∈(0,2)时,f(x)=x3,则函数f(x)在区间[2018,2021]上( )
A.无最大值B.最大值为0
C.最大值为1D.最大值为-1
解析 因为函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,所以f(4-x)=-f(x).又函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(4-x)=f(-x).令t=-x,得f(4+t)=f(t),所以函数f(x)是周期为4的周期函数.又函数f(x)的定义域为R,且函数f(x)是奇函数,所以f(0)=0,f(-2)=-f
(2),由函数f(x)的周期为4,得f(-2)=f
(2),所以-f
(2)=f
(2),解得f
(2)=0.所以f(-2)=0.依此类推,可以求得f(2n)=0(n∈Z).作出函数f(x)的大致图象如图所示,根据周期性,可得函数f(x)在区间[2018,2021]上的图象与在区间[-2,1]上的图象完全一样.观察图象可知,函数f(x)在区间(-2,1]上单调递增,且f
(1)=13=1,又f(-2)=0,所以函数f(x)在区间[-2,1]上的最大值是1,故函数f(x)在区间[2018,2021]上的最大值也是1.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知单位向量e1,e2,且〈e1,e2〉=
,若向量a=e1-2e2,则|a|=________.
答案
解析 因为|e1|=|e2|=1,〈e1,e2〉=
,所以|a|2=|e1-2e2|2=1-4|e1||e2|cos
+4|e2|2=1-4×
1×
+4=3,即|a|=
.
14.已知实数x,y满足
目标函数z=ax+y的最大值M∈[2,4],则实数a的取值范围为________.
解析 可行域如图阴影部分所示,当a≥0时,平移直线y=-ax+z至(2,3)时,z有最大值2a+3,故2≤2a+3≤4,得0≤a≤
.当-1<
a<
0时,平移直线y=-ax+z至(2,3)时,z有最大值2a+3,因2≤2a+3≤4,故-
≤a<
0.当a≤-1时,平移直线y=-ax+z至(0,1)时,z有最大值1,不符合题意,故舍去.综上,a∈
15.在《九章算术》中有称为“羡除”的五面体体积的求法.现有一个类似于“羡除”的有三条棱互相平行的五面体,其三视图如图所示,则该五面体的体积为________.
答案 24
解析 由三视图可得,该几何体为如图所示的五面体ABCEFD,其中,底面ABC为直角三角形,且∠BAC=90°
,AB=4,AC=3,侧棱DB,EC,FA与底面垂直,且DB=2,EC=FA=5.过点D作DH∥BC,DG∥BA,交EC,FA分别于H,G,连接GH,则棱柱ABC-DHG为直棱柱,四棱锥D-EFGH的底面为矩形EFGH,高为BA.所以V五面体ABCEFD=VABC-DHG+VD-EFGH=
×
2+
32×
4=24.
16.对任一实数序列A={a1,a2,a3,…},定义新序列ΔA=(a2-a1,a3-a2,a4-a3,…),它的第n项为an+1-an.假定序列Δ(ΔA)的所有项都是1,且a12=a22=0,则a2=________.
答案 100
解析 令bn=an+1-an,依题意知数列{bn}为等差数列,且公差为1,所以bn=b1+(n-1)×
1,
a1=a1,
a2-a1=b1,
a3-a2=b2,
…
an-an-1=bn-1,
累加得an=a1+b1+…+bn-1
=a1+(n-1)b1+
=(n-1)a2-(n-2)a1+
分别令n=12,n=22,得
解得a1=
,a2=100.
三、解答题:
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
=tanA+tanB.
(1)求角A的大小;
(2)设AD为BC边上的高,a=
,求AD的取值范围.
解
(1)在△ABC中,∵
=tanA+tanB,
∴
即
,则tanA=
,∴A=
(2)∵S△ABC=
AD·
BC=
bcsinA,∴AD=
bc.
由余弦定理得cosA=
≥
∴0<
bc≤3(当且仅当b=c时等号成立),
AD≤
18.(本小题满分12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,底面ABEF为正方形,AF=2
FD,∠AFD=90°
,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是30°
(1)证明:
AF⊥平面EFDC;
(2)求直线BF与平面BCE所成角的正弦值.
解
(1)证明:
∵底面ABEF为正方形,∴AF⊥FE,
又∠AFD=90°
,∴AF⊥DF,而DF∩FE=F,DF⊂平面EFDC,EF⊂平面EFDC.
∴AF⊥平面EFDC.
(2)∵AF⊂底面ABEF,则由
(1)知平面EFDC⊥平面ABEF,如图,过D作DG⊥EF,垂足为G,
∴DG⊥平面ABEF.
以G为坐标原点,
的方向为x轴正方向,|
|为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.
由
(1)知∠DFE为二面角D-AF-E的平面角,故∠DFE=30°
,又AF=2
FD,则|DF|=2,|GF|=
,|AF|=4
∴B(-3
,4
,0),E(-3
,0,0),F(
,0,0).
由已知,AB∥EF,∴AB∥平面EFDC.
又平面ABCD∩平面EFDC=DC,
故AB∥CD,CD∥EF.由BE∥AF,可得BE⊥平面
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- 高考 仿真 模拟