等差数列及其前n项和教案Word格式.docx
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通过公式推导的过程教学,对学生进行思维灵活性与广阔性的训练,发展学生的思维水平.
情感
态度
价值观
1、通过等差数列概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的能力,积极思维,追求新知的创新意识.
2、通过对等差数列的研究,使学生明确等差数列与一般数列的内在联系,从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点;
知识点
等差数列的概念、通项公式、性质及前n项和
重难点
重点:
等差数列的定义、通项公式、性质、前n项和的理解与应用
难点:
灵活应用等差数列定义、通项公式、性质、前n项和公式解决一些简单的有关问题.
知识讲解
1.等差数列的有关定义
(1)一般地,如果一个数列从第___项起,每一项与它的前一项的____等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为____________(n∈N*,d为常数).
(2)数列a,A,b成等差数列的充要条件是_________,其中A叫做a,b的__________.
2.等差数列的有关公式
(1)通项公式:
an=_______,an=______(m,n∈N*).
(2)前n项和公式:
Sn=____________________.
3.等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn=
n2+
n.
4.等差数列的性质
(1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则有_________,
特别地,当m+n=2p时,_____________.
(2)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为________
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为______的等差数列.
(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.
(5)等差数列的单调性:
若公差d>
0,则数列为___________;
若d<
0,则数列为__________;
若d=0,则数列为_______.
(6)等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列.
(7)S2n-1=(2n-1)an.
(8)若n为偶数,则S偶-S奇=
d.若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).
5.等差数列的最值
在等差数列{an}中,a1>
0,d<
0,则Sn存在最______值;
若a1<
0,d>
0,则Sn存在最______值.大 小
6.方法与技巧
等差数列的判断方法有:
(1)定义法:
an+1-an=d(d是常数)⇔{an}是等差数列.
(2)中项公式:
2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}是等差数列.
(3)通项公式:
an=pn+q(p,q为常数)⇔{an}是等差数列.
(4)前n项和公式:
Sn=An2+Bn(A、B为常数)⇔{an}是等差数列.
(5)在遇到三个数成等差数列问题时,可设三个数为①a,a+d,a+2d;
②a-d,a,a+d;
③a-d,a+d,a+3d等可视具体情况而定.
(6)在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量,通过建立方程(组)获得解.
例题讲解
题型一 等差数列的基本量的计算
例1 等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50,
(1)求通项an;
(2)若Sn=242,求n.
设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0.
(1)若S5=5,求S6及a1;
(2)求d的取值范围.
探究提高
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.
变式训练1
设等差数列{an}的公差为d(d≠0),它的前10项和S10=110,且a1,a2,a4成等比数列,求公差d和通项公式an.
已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.
题型二 等差数列的判定或证明
例2 已知数列{an}中,a1=
,an=2-
(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn=
(n∈N*).
(1)求证:
数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}的最大值和最小值.
探究提高 1.证明或判断一个数列为等差数列,通常有两种方法:
an+1-an=d;
(2)等差中项法:
2an+1=an+an+2.就本例而言,所用方法为定义法.
2.解选择、填空题时,亦可用通项或前n项和直接判断.
(1)通项法:
若数列{an}的通项公式为n的一次函数,即an=An+B,则{an}是等差数列.
(2)前n项和法:
若数列{an}的前n项和Sn是Sn=An2+Bn的形式(A,B是常数),则{an}为等差数列.
3.若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可.
变式训练2
(1)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=
(n≥2),a1=2.
求证:
是等差数列;
求an的表达式.
(2)已知数列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*).
求a2,a3的值.
是否存在实数λ,使得数列{
}为等差数列?
若存在,求出λ的值;
若不存在,说明理由.
题型三 等差数列性质的应用
例3 若一个等差数列的前5项之和为34,最后5项之和为146,且所有项的和为360,求这个数列的项数.
变式训练3
已知数列{an}是等差数列.
(1)若Sn=20,S2n=38,求S3n;
(2)若项数为奇数,且奇数项和为44,偶数项和为33,求数列的中间项和项数.
题型四 等差数列的前n项和及综合应用
例4
(1)在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值;
(2)已知数列{an}的通项公式是an=4n-25,求数列{|an|}的前n项和.
点评:
求等差数列前n项和的最值,常用的方法:
若{an}是等差数列,求前n项和的最值时,
(1)若a1>
0,且满足
,前n项和Sn最大;
(2)若a1<
,前n项和Sn最小;
(3)将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A、B为常数)看做二次函数,利用二次函数的图象或配方法求最值,注意n∈N*.
变式训练4
(1)已知数列{an}满足2an+1=an+an+2(n∈N*),它的前n项和为Sn,且a3=10,S6=72.若bn=
an-30,求数列{bn}的前n项和的最小值.
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1<
0,S2009=0.
求Sn的最小值及此时n的值;
求n的取值集合,使an≥Sn.
(3)设等差数列{an}的前n项和Sn=m,前m项和Sm=n(m≠n),求它的前m+n项
的和Sm+n.
课后作业
A.基础题自测
1.如果等差数列
中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=( )
A.14B.21C.28D.35
2.已知{an}是等差数列,a1=-9,S3=S7,那么使其前n项和Sn最小的n是( )
A.4B.5C.6D.7
3在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9-
a11的值为( )
A.14B.15C.16D.17
4.等差数列{an}的前n项和满足S20=S40,下列结论中正确的是( )
A.S30是Sn中的最大值B.S30是Sn中的最小值
C.S30=0D.S60=0
5.设数列{an}、{bn}都是等差数列,且a1=10,b1=90,a2+b2=100,那么数列{an+bn}的第2012项的值是( )
A.85B.90C.95D.100
6.已知等差数列{an}中,a2=6,a5=15,若bn=a3n,则数列{bn}的前9项和等于________.
7.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=_______.
8.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知am-1+am+1-a
=0,S2m-1=38,则m=_______.
9.在数列{an}中,若点(n,an)在经过点(5,3)的定直线l上,则数列{an}的前9项和S9=_______.
10.设{an}是一个公差为d(d≠0)的等差数列,它的前10项和S10=110,且a
=a1a4.
(1)证明:
a1=d;
(2)求公差d的值和数列{an}的通项公式.
11.已知等差数列{an}满足:
a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn;
(2)令bn=
(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.
B.中档题演练
1.设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于( )
A.31B.32C.33D.34
2.数列{an}为等差数列,a10=33,a2=1,Sn为数列{an}的前n项和,则S20-2S10等于( )
A.40B.200C.400D.20
3设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k等于( )
A.8B.7C.6D.5
4.已知数列{an}中,a3=2,a5=1,若
是等差数列,则a11等于( )
A.0B.
C.
D.
5.在各项均不为零的等差数列{an}中,若an+1-a
+an-1=0(n≥2),则S2n-1-4n等于( )
A.-2B.0C.1D.2
6.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且
=
,则使得
为整数的正整数n的个数是( )
A.2B.3C.4D.5
7设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=________.
8.等差数列{an}的前n项和为Sn,且6S5-5S3=5,则a4=_______.
9.等差数列{an}的通项公式是an=2n+1,其前n项和为Sn,则数列
的前10项和为_______.
10.设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,若对任意自然数n都有
,则
+
的值为_______.
11.已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p
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- 等差数列 及其 教案