金融的数学模型与方法试题A评分标准Word文档下载推荐.doc
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答案要全部抄到答题纸上,做在试卷上不给分》
一、填空题(每小题3分,共12分)
1.一张在确定时间,按确定价格有权购入一定数量和质量的原生资产的合约
2.
3.在相反方向交易份额的原生资产,使得构成的投资组合:
4.其中为正常数,表示标准的Brown运动,为风险的市场价格。
二、计算题(30分)
1、(15分)设今日为1月1日,现股价为70元,无风险利率为4%,若在三个月期间,每一个月股价有两种可能:
或上升5%或下降5%.若购买一张3月31日到期的敲定价为70元的看跌期权,如按合约规定,第2个月月底持有人有权提前实施期权,问期权金为多少?
解:
依题意得,
令……………………5分
经计算可得,……………………10分
2、(15分)若随机过程分别适合随机微分方程:
其中,表示相应的期望回报率,表示相应的波动率,表示标准的Brown运动。
求
由公式可得,
……………………8分
……………………7分
三、证明题(共30分)
1、(15分)证明欧式看跌期权的价格是敲定价格的凸函数,即设
,则有。
证:
在时刻构造两个投资组合
在期权的到期日
当时,
当时,;
……………………8分
,
即;
因此在,
而
由无套利原理立得,。
……………………7分
2、(15分)设是利率为,红利率为,敲定价为的欧式看涨期权价格,这里。
证明:
当时,。
记
由于,则,又根据看涨期权关于敲定价格递减,可知
,即。
……………………10分
假设当时,成立,则当时,
即由归纳法,可证命题成立。
……………………5分
四、综合题(共28分)
1、(12分)若股票不付红利,对于美式看跌股票期权,试说明股价下跌到
一定程度,提前实施是必要的原因?
答:
若在时刻,那么持有人必须提前实施。
……………………4分
因为持有人在期权到期日的收益在任何情况下一定不会超过。
但若在时刻
提前实施,当时获益把这个收益存入银行,
它在的总收入将超过。
因此此时提前实施是必要的。
2、(16分)叙述认股权证的定义以及与欧式看涨期权的异同点,并建立认股权证的数学模型。
认股权证的定义:
持有人在确定的时间,按确定的价格按规定的股数买入一特定公司的股票。
与欧式看涨期权的异同点:
共同点:
两者均保证持有人有权在未来确定时刻购买股票
不同点:
(1)认股权证所买入的股票是上市公司所发行的新股票,而欧式看涨期权所购买的股票不一定是新发行的;
(2)认股权证有效期一般为几年,而看涨期权有效期一般为几个月
……………………6分
认股权证的数学模型:
基本假定:
(1)假定公司有股普通股股票和份已发行的认股权证W;
(2)认股权证的有效期为,且每份认股权证授权持有者以元购买一股股票;
(3)假定公司资产价值过程演化服从几何Brown运动,
这里,表示期望收益率表示波动率,为标准的Brown运动过程
认股权证数学模型:
(1)当时,由于执行认股权证,公司总价值为,股票的数量为,每份股票的价值为,因此当时,,而当时,,即当时,。
.
(2)当时,
在时刻,构造投资组合,选取适当的使得在内,是无风险的。
由公式,可知选取使得是无风险的,并推得满足的偏微分方程为
因此在定解区域上所满足的定解问题为
……………………10分
试卷第5页共6页
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