高考数学数列与数学归纳法.docx
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高考数学数列与数学归纳法
第三章数列与数学归纳法
知识结构
高考能力要求
1、理解数列的概念,了解数列通项公式的意义.了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项.
2、理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式,并能解决简单的实际问题.
3、理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题.
4、理解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
高考热点分析
纵观近几年高考试题,对数列的考查已从最低谷走出,估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小,等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式的应用是必考内容,数列与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点.
从解题思想方法的规律着眼,主要有:
①方程思想的应用,利用公式列方程(组),例如等差、等比数列中的“知三求二”问题;②函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题;③待定系数法、分类讨论等方法的应用.
高考复习建议
数列部分的复习分三个方面:
①重视函数与数列的联系,重视方程思想在数列中的应用.②掌握等差数列、等比数列的基础知识以及可化为等差、等比数列的简单问题,同时要重视等差、等比数列性质的灵活运用.③要设计一些新颖题目,尤其是通过探索性题目,挖掘学生的潜能,培养学生的创新意识和创新精神,数列综合能力题涉及的问题背景新颖,解法灵活,解这类题时,要引导学生科学合理地思维,全面灵活地运用数学思想方法.
数列部分重点是等差、等比数列,而二者在内容上是完全平行的,因此,复习时应将它们对比起来复习;由于数列方面的题目的解法的灵活性和多样性,建议在复习这部分内容时,要启发学生从多角度思考问题,提倡一题多解,培养学生思维的广阔性,养成良好的思维品质.
3.1数列的概念
知识要点
1.数列的概念
数列是按一定的顺序排列的一列数,在函数意义下,数列是定义域为正整数N*或其子集{1,2,3,……n}的函数f(n).数列的一般形式为a1,a2,…,an…,简记为{an},其中an是数列{an}的第项.
2.数列的通项公式
一个数列{an}的与之间的函数关系,如果可用一个公式an=f(n)来表示,我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.
3.在数列{an}中,前n项和Sn与通项an的关系为:
4.求数列的通项公式的其它方法
⑴公式法:
等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法.
⑵观察归纳法:
先观察哪些因素随项数n的变化而变化,哪些因素不变;初步归纳出公式,再取n的特珠值进行检验,最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明.
⑶递推关系法:
先观察数列相邻项间的递推关系,将它们一般化,得到的数列普遍的递推关系,再通过代数方法由递推关系求出通项公式.
例题讲练
【例1】根据下面各数列的前n项的值,写出数列的一个通项公式.
⑴-
,
,-
,
…;
⑵1,2,6,13,23,36,…;
⑶1,1,2,2,3,3,….
【例2】已知数列{an}的前n项和Sn,求通项.
⑴Sn=3n-2
⑵Sn=n2+3n+1
【例3】根据下面数列{an}的首项和递推关系,探求其通项公式.
⑴a1=1,an=2an-1+1(n≥2)
⑵a1=1,an=
(n≥2)
⑶a1=1,an=
(n≥2)
【例4】已知函数
=2x-2-x,数列{an}满足
=-2n,求数列{an}通项公式.
小结归纳
1.根据数列的前几项,写出它的一个通项公式,关键在于找出这些项与项数之间的关系,常用的方法有观察法、通项法,转化为特殊数列法等.
2.由Sn求an时,用公式an=Sn-Sn-1要注意n≥2这个条件,a1应由a1=S1来确定,最后看二者能否统一.
3.由递推公式求通项公式的常见形式有:
an+1-an=f(n),
=f(n),an+1=pan+q,分别用累加法、累乘法、迭代法(或换元法).
基础训练题
一、选择题
1.某数列{an}的前四项为0,
,0,
,则以下各式:
①an=
[1+(-1)n]②an=
③an=
其中可作为{an}的通项公式的是()
A.①B.①②
C.②③D.①②③
2.函数f(x)满足f(n+1)=
(n∈N*)且f
(1)=2,则f(20)=()
A.95B.97C.105D.192
3.(2005年山东高考){an}是首项a1=1,公差d=3的等差数列,如果an=2005,则序号n等于()
A.667B.668
C.669D.670
4.已知数列{an}满足an·an-1=an-1+(-1)n(n≥2),且a1=1,则
=()
A.
B.
C.
D.
5.已知数列
,3,
,…
,那么9是它的第几项()
A.12B.13
C.14D.15
6.根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn=
(21n-n2-5)(n=1,2,…,12).按此预测,在本年度内,需求量超过1.5万件的月份是()
A.5月,6月B.6月,7月
C.7月,8月D.8月,9月
二、填空题
7.已知an=
(n∈N*),则数列{an}的最大项为第项.
8.已知数列{an}的前n项的和Sn满足关系式lg(Sn-1)=n,(n∈N*),则数列{an}的通项公式为.
9.设数列{an}的前n项和为Sn,Sn=
(n≥1),且a4=54,则a1的数值是.
10.已知数列{an}的前n项和Sn=
,则数列{
}的前n项和Tn=.
三、解答题
11.(2002·天律)已知{an}是由非负整数组成的数列,满足a1=0,a2=3,an+1·an=(an-1+2)(an-2+2),n=3,4,5…,求a3.
12.(2005年山东高考)已知数列{an}的首项a1=5.前n项和为Sn且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*).
(1)证明数列{an+1}是等比数列;
(2)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,求函数f(x)在点x=1处导数f1
(1).
13.已知数列{an}中,a1=1,an+1=
(n∈N*),求该数列的通项公式.
提高训练题
14.已知an=
(n∈N),试问:
数列{an}有没有最大项,如果有,求出最大项;如果没有,说明理由.
15.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+(-1)n,
n≥1.
(1)写出数列{an}的前3项a1,a2,a3;
(2)求数列{an}的通项公式.
3.2等差数列
知识要点
1.等差数列的定义:
-=d(d为常数).
2.等差数列的通项公式:
⑴an=a1+×d
⑵an=am+×d
3.等差数列的前n项和公式:
Sn==.
4.等差中项:
如果a、b、c成等差数列,则b叫做a与c的等差中项,即b=.
5.数列{an}是等差数列的两个充要条件是:
⑴数列{an}的通项公式可写成an=pn+q(p,q∈R)
⑵数列{an}的前n项和公式可写成Sn=an2+bn
(a,b∈R)
6.等差数列{an}的两个重要性质:
⑴m,n,p,q∈N*,若m+n=p+q,则.
⑵数列{an}的前n项和为Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成
数列.
例题讲练
【例1】在等差数列{an}中,
(1)已知a15=10,a45=90,求a60;
(2)已知S12=84,S20=460,求S28;
(3)已知a6=10,S5=5,求a8和S8.
【例2】已知数列{an}满足a1=2a,an=2a-
(n≥2).其中a是不为0的常数,令bn=
.
⑴求证:
数列{bn}是等差数列.
⑵求数列{an}的通项公式.
【例3】已知{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列{
}前n项和。
求Tn.
【例4】美国某公司给员工加工资有两个方案:
一是每年年末加1000美元;二是每半年结束时加300美元.问:
⑴从第几年开始,第二种方案比第一种方案总共加的工资多?
⑵如果在该公司干10年,问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元?
⑶如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元.
问a取何值时,总是选择第二种方案比第一种方案多加工资?
小结归纳
1.欲证{an}为等差数列,最常见的做法是证明:
an+1-an=d(d是一个与n无关的常数).
2.a1,d是等差数列的最关键的基本量,通常是先求出a1,d,再求其他的量,但有时运算较繁.
3.对等差数列{an}的最后若干项的求和,可以把数列各项的顺序颠倒,看成公差为-d的等差数列进行求和.
4.遇到与等差数列有关的实际问题,须弄清是求项的问题还是求和的问题.
基础训练题
一、选择题
1.已知数列{an}满足:
a1=14,an+1=an-
(n∈N*),则使an·an+2<0成立的n的值是()
A.19B.20
C.21D.22
2.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有()
A.a1+a101>0B.a2+a100<0
C.a3+a99=0D.a51=51
3.已知数列{an},an=-2n+25,当Sn达到最大值时,n为()
A.10B.11
C.12D.13
4.(2005年全国)如果a1、a2,…a8为各项都大于零的等差数列,公差d≠0,则()
A.a1a8>a4a5B.a1a8<a4a5
C.a1+a8>a4+a5D.a1a8=a4a5
5.等差数列{an}的首项为70,公差为-9,则这个数列中绝对值最小的一项为()
A.a8B.a9
C.a10D.a11
6.在等差数列{an}中,S4=1,S8=4,则a17+a18+a19+a20的值为()
A.7B.8
C.9D.10
二、填空题
7.等差数列{an}中,a1=1,公差为d,当a1a2+a2a3取得最小值时,d=.
8.(2003年·上海)在等差数列{an}中,a5=3,a6=-2,则a4+a5+…+a10=.
9.已知{
}为等差数列且a2=
-1,a4=
+1,那么a10=.
10.等差数列{an}中,Sn是它的前n项和,且S6
⑴当n≤7时,Sn是递增的,当n>7时,Sn是递减的.
⑵S9一定小于S6.
⑶a7>0,a8<0.
⑷S13<0.
其中正确命题的序号是(把你认为正确的命题序号都填上).
三、解答题
11.有两个等差数列{an},{bn},
,求
的值.
12.已知数列{an}前n项和Sn=n2-9n.
(1)求证:
{an}为等差数列;
(2)求Sn的最小值及相应的n;
(3)记数列{
}的前n项和为Tn,求Tn表达式.
13.下表给出一个“等差数阵”.
4
7
()
()
()
…
a1j
…
7
12
()
()
()
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