精选部编版数学八年级上1121《三角形的内角2》教案Word文档下载推荐.docx
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有两个角互余的三角形是直角三角形.
2.预习自测
(1)在Rt△ABC中,∠C=90o,∠A=40o,则∠B=_______.
【知识点】直角三角形的性质
【思路点拨】直角三角形的两个锐角互余,知道其中一个锐角,即可求出另一个锐角的度数.
【解题过程】解:
在Rt△ABC中,∠C=90o,∠B=90o−∠A=50o.
【答案】50o
(2)在Rt△ABC中,∠C=90o,且∠A=2∠B,则∠A=_______,∠B=_______.
【思路点拨】直角三角形的两个锐角互余,∠A+∠B=90o,已知∠A=2∠B,即可得3∠B=90o,求出∠B,再求∠A.
在Rt△ABC中,∠C=90o,则∠A+∠B=90o,∵∠A=2∠B,∴3∠B=90o,∴∠B=30o,∴∠A=60o.
【答案】60o,30o
(3)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90o,CD⊥AB,则与∠1互余的角有_______.
【思路点拨】此题关键是在图中准确找出直角三角形,利用直角三角形的两锐角互余进行判断.
Rt△ADC中,∠A+∠1=90o,∵∠ACB=90o.∴∠1+∠BCD=90o.∴与∠1互余的角有∠A、∠BCD.
【答案】∠A、∠BCD
(4)在△ABC中,∠C=2∠A=2∠B,则△ABC是()
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定
【知识点】直角三角形的判定
【思路点拨】根据三角形的内角和,利用方程求出各内角的度数确定三角形.
设∠A=∠B=x,则∠C=2x,由三角形的内角和可得x+x+2x=180o,解得
x=45o,∴∠C=90o,故三角形是直角三角形,选B.
【答案】B
(二)课堂设计
1.知识回顾
(1)三角形的内角和为.
符号语言:
在△ABC中,∠A+∠B+∠C=.
(2)如何判断一个三角形是直角三角形?
2.问题探究
探究一直角三角形的性质
活动①回顾旧知三角形中已知两个角求第三个角
问题1在△ABC中,∠C=90o,∠A=35o,则∠B的度数是多少?
生回答:
∠B=180o−∠C−∠A=180o−90o−35o=55o.
问题2在三角形中,若已知两个角的度数可以利用三角形的内角和为180o,求出第三个角的度数.如果两个角中有一个角为直角,有没有更直接的方法求出第三个角的度数呢?
【设计意图】通过对旧知识的复习,回顾运用三角形的内角和求角的度数的方法,为探索直角三角形的两个锐角互余作铺垫.
活动②整合旧知探究直角三角形的性质
如图,在直角三角形ABC中,∠C=90o,试说明∠A+∠B=90o.
.
解:
由三角形的内角和为180o,得∠A+∠B+∠C=180o,
即∠A+∠B+90o=180o,所以∠A+∠B=90o
结论:
直角三角形的两个锐角互余.
在Rt△ABC中,∠C=90o,∴∠A+∠B=90o.
【设计意图】在直角三角形中,已知一个锐角的度数能快速求出另一个角的度数对学生而言较容易,可利用本环节进一步培养学生的推理能力.
探究二直角三角形的判定
问题我们知道,如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形有两个锐角互余.反过来,有两个角互余的三角形是直角三角形吗?
请你说说理由.
答:
由三角形的内角和为180o,可知当有两个角互余时可求第三个角为90o,所以此三角形是直角三角形.
【设计意图】在完成探究一后,可将直角三角形的性质的题设和结论调换,得到新命题,并证明该命题是真命题,从而得到直角三角形的判定定理.既可复习命题的旧知,又可继续培养学生的推理能力.
探究三综合运用
活动①直角三角形性质的运用
例1如图,∠D=∠C=90o,AD,BC相交于点E,∠CAE与∠DBE有什么关系?
为什么?
在Rt△ACE中,∠C=90o,
∠CAE=90o−∠AEC
在Rt△DBE中,∠D=90o,
∠DBE=90o−∠DEB
∵∠AEC=∠DEB
∴∠CAE=∠DBE.
【思路点拨】根据直角三角形的两锐角互余和对顶角相等解决问题.
【答案】∠CAE=∠DBE.
练习:
如图,∠ACB=90o,CD⊥AB,垂足为D,∠ACD与∠B有什么关系?
【解题过程】∵CD⊥AB,所以∠CDB=90o,∴∠BCD+∠B=90o,∵∠ACB=90o.∴∠ACD+∠BCD=90o,∴∠ACD=∠B
【思路点拨】根据直角三角形的两锐角互余和同角的余角相等解决问题.
【答案】∠ACD=∠B
活动②直角三角形的判定
例2如图,直线EF分别交AB、CD于点E、F,AB∥CD,∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.求证:
△EFP是直角三角形.
【解题过程】∵AB∥CD,∴∠BEF+∠EFD=180o,又∵∠BEF的平分线与DFE的平分线相交于点P,∴∠PEF=
∠BEF,∠PFE=
∠EFD,∴∠PEF+∠PFE=
∠BEF+
∠EFD=
(∠EFD+∠EFD)=
×
180o=90o,∴△EFP是直角三角形.
【思路点拨】由两直线平行可得同旁内角互补,再由角平分线的定义易求出∠PEF+∠PFE=
90o,从而判断△EFP是直角三角形.
【答案】
如图,在△ABC中,∠C=90o,∠1=∠2,△ADE是直角三角形吗?
【知识点】直角三角形的性质和判定
【解题过程】在△ABC中,∠C=90o,∴∠A+∠2=90o,∵∠1=∠2,∴∠A+∠1=90o,∴△ADE是直角三角形.
【思路点拨】已知直角三角形易得∠A、∠2互余,再根据等量代换得到∠A与∠1互余,根据直角三角形的判定解决问题.
【答案】△ADE是直角三角形
活动③三角形的内角和的综合运用
例3如图,在△ABC中,∠B=52o,∠C=40o,AE是BC边上的高,AD是∠BAC的平分线,求∠DAE的度数.
【知识点】三角形的内角和及三角形的角平分线、高的定义
【解题过程】在△ABC中,已知∠B=52o,∠C=40o,∴∠BAC=180o−∠B−∠C=88o,∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD=
∠BAC=44o,∴∠ADB=180o−∠B−∠BAD=84o,∵AE是BC边上的高,∴∠AED=90o,∴∠DAE=90o−∠ADE=6o.
【思路点拨】法1:
利用角的和差解决:
∠DAE=∠BAD-∠BAE,在Rt△AEB中已知∠B=52o,可求∠BAE,在△ABC中已知∠B=52o,∠C=40o,可求∠BAC,再根据AD是∠BAC的平分线,求出∠BAD.法2:
利用直角三角形两锐角互余解决:
∠DAE=90o-∠ADE,在△ADB中已知∠B=52o,用法1求出∠BAD,可求∠ADB.从而解决问题.
【答案】6o
变式练习:
如图,在△ABC中,∠B=α(0o<
α<
90o),∠C=β(0o<
β<
90o),α>
β,AE是BC边上的高,AD是∠BAC的平分线,请求∠DAE的度数(用α、β的式子表示).
【解题过程】在△ABC中已知∠BAC=180o−α−β,∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD=
(180o−α−β)∴∠ADB=180o−α−
(180o−α−β)=90o−
α+
β.∵AE是BC边上的高,∴∠AED=90o,∴∠DAE=90o−(90o−
β)=
α−
β.
【思路点拨】思考方法同上,关键是用α、β的式子表示各个角的度数.
【答案】
α−
β.
练习2:
如图,在△ABC中,∠A=40o,∠B=86o,CD⊥AB于D,DF⊥CE于F,CE是∠ACB的平分线,求∠BCE和∠CDF的度数.
【解题过程】在△ABC中,∠A=40o,∠B=86o∴∠ACB=54o,∵CE是∠ACB的平分线,∴∠BCE=
∠ACB=27o,∵CD⊥AB于D,∴∠CDB=90o,∴∠BCD=4o,∴∠FCD=∠BCE−∠BCD=23o,∵DF⊥CE于F,∴∠CFD=90o,∴∠CDF=90o−∠FCD=67o,即∠BCE=27o,∠CDF=67o.
【思路点拨】本题考查的是三角形的内角和定理及角平分线的性质,高的定义,解答的关键是三角形的内角和定理,需熟记于心中.
【答案】∠BCE=27o,∠CDF=67o.
3.课堂总结
知识梳理
(1)根据直角三角形的性质可得两个锐角互余.
(2)由直角三角形两锐角互余的关系可判定三角形是直角三角形.
(3)利用三角形内角和、直角三角形的性质和判定解决有关的计算和证明.
重难点归纳
(1)掌握直角三角形的性质与判定.
(2)在解决角的度数问题时,若有直角三角形存在,善于运用直角三角形的两锐角互余求角度更直接简便.
(3)学会与三角形内角有关的计算与证明的说理.
(三)课后作业
基础型自主突破
1.一个三角形的三个内角的度数比是1∶2∶1,这个三角形是( ).
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形
【知识点】三角形的内角和定理,三角形的分类
【数学思想】方程思想
【思路点拨】已知三角形的三个内角的度数比是1∶2∶1,可根据三角形的内角和定理设未知数建立方程求解.
【解题过程】三个内角的度数比是1∶2∶1,设三个角的度数分为xo,2xo,xo由题可得x+2x+x=180,解得x=45,∴三个角的度数分为45o,90o,45o,∴此三角形是等腰直角三角形.故选D.
【答案】D
2.如图,直线∠A=35o,∠B=∠C=90o,则∠D的度数为( )
A.35°
B.45°
C.55°
D.65°
【思路点拨】由直角三角形的两锐角互余和对顶角相等可解决问题.
【解题过程】在Rt△ABE和Rt△CED中,∠A+∠AEB=90o,∠D+∠DEC=90o,因为∠AEB=∠DEC,所以∠D=∠A=35o.故选A.
【答案】A
3.将一个直角三角尺和一把直尺如图放置,如果,∠1=36°
,则∠2的度数为()
A.56°
B.76°
C.66°
D.60°
【知识点】直角三角形的性质,平行线的性质,邻补角的定义
【思路点拨】根据直角三角形两锐角互余,可求∠A=30o,根据三角形内角和定理求∠4,即可求出∠3,再利用平行线的性质得∠2=∠3,从而求解.
根据直角三角形两锐角互余,可求∠A=30o,∴∠4=180o−30o−36o=114o,∴∠3=180o−114o=66o,∵直尺对边平行,所以∠2=∠3=66o,故选C
【答案】C
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