高考数学总复习 23函数的奇偶性与周期性基础巩固强化练习 新人教A版Word格式文档下载.docx
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∴f(2014)=f(671×
3+1)=f
(1),
∵f(x)为奇函数,f(-1)=a,
∴f
(1)=-a,故选B.
(理)(2012·
河南商丘模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,它的最小正周期为T,则f(-
)的值为( )
A.-
B.0
C.
D.T
[解析]∵f(-
)=-f(
),且f(-
)=f(-
+T)=f(
),∴f(
)=0,∴f(-
)=0.
4.(文)(2011·
北京东城一模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>
0时,f(x)=ln(x+1),则函数f(x)的图象大致为( )
[答案] C
[解析] 函数f(x)=ln(x+1)的图象由f(x)=lnx的图象向左平移1个单位得到,选取x>
0的部分,然后作关于y轴的对称图形即得.
(理)
(2011·
北京西城模拟)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示,则在(-2,0)上,下列函数中与f(x)的单调性不同的是( )
A.y=x2+1B.y=|x|+1
C.y=
D.y=
[解析]∵f(x)为偶函数,由图象知,f(x)在(-2,0)上为减函数,而y=x3+1在(-∞,0)上为增函数.
5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(0)=2-
,且对任意的x都有f(x+3)=
,则f(2013)的值为( )
A.-2-
B.-2+
C.2-
D.-3-
[解析] 由题意得f(x+6)=f(x+3+3)=
=
=f(x).∴函数f(x)的周期为6.
f(2013)=f(335×
6+3)=f(3),而f(3)=f(0+3)=-
=-
=-2-
.
6.(文)(2011·
合肥模拟)设f(x)是偶函数,且当x>
0时是单调函数,则满足f(2x)=f(
)的所有x之和为( )
B.-
C.-8D.8
[解析]∵f(x)是偶函数,f(2x)=f(
),
∴f(|2x|)=f(|
|).
又∵f(x)在(0,+∞)上为单调函数,
∴|2x|=|
|,即2x=
或2x=-
,
整理得2x2+7x-1=0或2x2+9x+1=0,
设方程2x2+7x-1=0的两根为x1,x2,方程2x2+9x+1=0的两根为x3,x4.
则(x1+x2)+(x3+x4)=-
+(-
)=-8.
(理)已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设a=f(log47),b=f(log
3),c=f(0.20.6),则a、b、c的大小关系是( )
A.c<
b<
aB.b<
c<
a
C.b<
a<
cD.a<
c
[答案]C
[解析] 由题意知f(x)=f(|x|).
∵log47=log2
>
1,|log
3|=log23>
log2
,0<
0.20.6<
1,
∴|log
3|>
|log47|>
|0.20.6|.
又∵f(x)在(-∞,0]上是增函数,且f(x)为偶函数,
∴f(x)在[0,+∞)上是减函数.
∴b<
c.故选C.
7.(文)若f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=2对称,且当x∈(-2,2)时,f(x)=-x2+1.则f(-5)=________.
[答案] 0
[解析] 由题意知f(-5)=f(5)=f(2+3)=f(2-3)=f(-1)=-(-1)2+1=0.
湖南文)已知f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则f
(2)=________.
[答案] 6
[解析] 由g(x)=f(x)+9知g(-2)=f(-2)+9=3,
∴f(-2)=-6,而由于f(x)是奇函数,
所以f
(2)=-f(-2)=-(-6)=6.
8.(文)若f(x)=lg
(a∈R)是奇函数,则a=________.
[答案] -1
[解析]∵f(x)=lg
是奇函数,
∴f(-x)+f(x)=0恒成立,
即lg
+lg
=lg
=0.
∴
=1,
∴(a2+4a+3)x2-(a2-1)=0,
∵上式对定义内的任意x都成立,
∴a=-1.
[点评] ①可以先将真数通分,再利用f(-x)=-f(x)恒成立求解,运算过程稍简单些.
②如果利用奇函数定义域的特点考虑,则问题变得比较简单.f(x)=lg
为奇函数,显然x=-1不在f(x)的定义域内,故x=1也不在f(x)的定义域内,令x=-
=1,得a=-1.故平时解题中要多思少算,培养观察、分析、捕捉信息的能力.
(理)设函数f(x)=sin(
x+φ)(0<
φ<
π).若f(x)+f′(x)是奇函数,则φ=________.
[答案]
[解析]∵f′(x)=
cos(
x+φ).
∴f(x)+f′(x)=sin(
x+φ)+
x+φ)
=2sin
f(x)+f′(x)是奇函数⇔φ+
=kπ(k∈Z),
即φ=kπ-
(k∈Z).
又∵0<
π,∴k=1时,φ=
9.定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(
)=0,则满足f(log
x)<
0的集合为________.
[答案] (0,
)∪(2,+∞)
[解析] 由题意知f(x)<
0的解为x>
或x<
-
∴由f(log
0得log
x>
或log
x<
∴0<
或x>
2.
10.(文)已知函数f(x)=1-
(a>
0且a≠1)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的值域;
(3)当x∈(0,1]时,tf(x)≥2x-2恒成立,求实数t的取值范围.
[解析]
(1)∵f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,即f(-x)=-f(x)恒成立,∴f(0)=0.
即1-
=0,解得a=2.
(2)∵y=
,∴2x=
由2x>
0知
0,
∴-1<
y<
1,即f(x)的值域为(-1,1).
(3)不等式tf(x)≥2x-2即为
≥2x-2.
即:
(2x)2-(t+1)·
2x+t-2≤0.设2x=u,
∵x∈(0,1],∴u∈(1,2].
∵u∈(1,2]时u2-(t+1)·
u+t-2≤0恒成立.
解得t≥0.
烟台模拟)已知函数f(x)=ax+
(x≠0,常数a∈R).
(1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若函数f(x)在x∈[3,+∞)上为增函数,求a的取值范围.
[解析]
(1)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
当a=0时,f(x)=
,满足对定义域上任意x,f(-x)=f(x),∴a=0时,f(x)是偶函数;
当a≠0时,f
(1)=a+1,f(-1)=1-a,
若f(x)为偶函数,则a+1=1-a,a=0矛盾;
若f(x)为奇函数,则1-a=-(a+1),1=-1矛盾,
∴当a≠0时,f(x)是非奇非偶函数.
(2)对任意x1,x2∈[3,+∞),且x1>
x2,
f(x1)-f(x2)=ax1+
-ax2-
=a(x1-x2)+
=(x1-x2)(a-
).
∵x1-x2>
0,f(x)在[3,+∞)上为增函数,
∴a>
,即a>
+
在[3,+∞)上恒成立.
∵
<
,∴a≥
能力拓展提升
11.(文)(2011·
泰安模拟)f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,且f
(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数至少是( )
A.1 B.4 C.3 D.2
[解析] 由f
(2)=0,得f(5)=0,
∴f(-2)=0,f(-5)=0.
∴f(-2)=f(-2+3)=f
(1)=0,
f(-5)=f(-5+9)=f(4)=0,
故f(x)=0在区间(0,6)内的解至少有1,2,4,5四个.
东北三校联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,都有f(2+x)=-f(x),且当x∈[0,1]时有f(x)=-x2+1,当x∈(1,2]时,f(x)=x-2,f(x)=0在[-1,5]上有5个根xi(i=1,2,3,4,5),则x1+x2+x3+x4+x5的值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
[答案] D
[解析]∵f(2+x)=-f(x),∴f(4+x)=f[2+(2+x)]=-f(2+x)=f(x),∴f(x)的周期为4,
∵x∈[0,1]时,f(x)=-x2+1,
∴x∈[-1,0]时,f(x)=-x2+1,
即x∈[-1,1]时,f(x)=-x2+1,
又x∈(1,2]时,f(x)=x-2,
∴x∈[-2,-1)时,f(x)=-x-2,
∴x∈[2,3)时,f(x)=f(x-4)=-(x-4)-2=2-x.
从而可知在[-1,5]上有f(-1)=0,f
(1)=0,f
(2)=0,f(3)=0,f(5)=0,∴x1+x2+x3+x4+x5=10,故选D.
12.(2012·
河南洛阳统考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lgx,则满足f(x)>
0的x的取值范围是( )
A.(-1,0)B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
[解析]∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,且x∈(0,+∞)时,f(x)=lgx,∴当x∈(-∞,0)时,f(x)=-lg(-x),且f(0)=0,∴f(x)>
0⇔
或
解得x>
1或-1<
0.
13.(文)(2011·
山东淄博一模)设奇函数f(x)的定义域为R,最小正周期T=3,若f
(1)≥1,f
(2)=
,则a的取值范围是( )
A.a<
-1或a≥
B.a<
-1
C.-1<
a≤
D.a≤
[解析] 函数f(x)为奇函数,则f(-1)=-f
(1).
由f
(1)=-f(-1)≥1得,f(-1)≤-1;
函数的最小正周期T=3,
则f(-1)=f
(2),由
≤-1解得,-1<
(理)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[
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