浙江省中考数学总复习第五章基本图形二第28讲图形的相似第1课时相似形讲解篇Word文件下载.docx
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BC),如果AC是线段AB和BC的比例中项,且
≈0.618,那么点C叫做线段AB的黄金分割点.
2.平行线分线段成比例
事实
两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段.
c
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.
3.相似图形的有关概念
相似图形
____________________相同的图形称为相似图形.
相似多
边形
两个边数相同的多边形,如果它们的角分别,边,那么这两个多边形叫做相似多边形.
相似多边形对应的比叫做相似比.
(1)相似多边形周长的比等于相似比;
(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方
相似三
角形
两个三角形的三个角分别_,三条边,则这两个三角形相似.当相似比等于1时,这两个三角形.
4.相似三角形的判定
判定1
____________________于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.
判定2
三边的两个三角形相似.
判定3
两边且夹角的两个三角形相似.
判定4
两角分别的两个三角形相似.
判定5
满足斜边和一条直角边的两个直角三角形相似.
拓展
直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似.
5.相似三角形的性质
1.相似三角形的对应角,对应边.
2.相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于.
3.相似三角形面积的比等于相似比的____________________.
三角形
的重心
三角形三条中线的交点叫做重心.
三角形的重心分每一条中线成1∶2的两条线段.
如图,△ABC中,∠ACB=90°
,CD是斜边AB上的高,则有下列结论.
①AC2=AD·
AB;
②BC2=BD·
③CD2=AD·
BD;
④AB·
CD=AC·
BC.
思想
转化思想:
证角相等,证比例线段往往转化为证相似三角形;
测量问题,往往构建相似三角形,即实际问题转化为相似三角形问题来解决.
b
1.(2017·
杭州)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,若BD=2AD,则( )
A.
B.
C.
D.
2.(2015·
嘉兴)如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1,l2,l3于点A,B,C;
直线DF分别交l1,l2,l3于点D,E,F.AC与DF相交于点H,且AH=2,HB=1,BC=5,则
的值为( )
B.2C.
D.
3.(2015·
嘉兴)如图是XX地图的一部分(比例尺1∶4000000).按图可估测杭州在嘉兴的南偏西____________________度方向上,杭州到嘉兴的图上距离约2cm,则杭州到嘉兴的实际距离约为____________________.
【问题】如图,点D在△ABC的边AC上.
(1)要判断△ADB与△ABC相似,添加一个条件是____________________;
(2)若△ADB∽△ABC,AB=4,AD=2,则AC=________;
(3)通过
(1)、
(2)解答,你能说出相似三角形哪些知识?
【归纳】通过开放式问题,归纳、疏理比例、相似多边形有关概念,相似三角形性质、判定.
类型一 比例性质、黄金分割等相关概念
(1)(2016·
山西)宽与长的比是
(约0.618)的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值,给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形:
作正方形ABCD,分别取AD、BC的中点E、F,连结EF;
以点F为圆心,以FD为半径画弧,交BC的延长线于点G;
作GH⊥AD,交AD的延长线于点H,则图中下列矩形是黄金矩形的是( )
A.矩形ABFEB.矩形EFCDC.矩形EFGHD.矩形DCGH
【解后感悟】先根据正方形的性质以及勾股定理,求得DF的长,再根据DF=GF求得CG的长,最后根据CG与CD的比值为黄金比,判断矩形DCGH为黄金矩形.
(2)已知
≠0,求
的值.
【解后感悟】这类题我们一般是设辅助未知数k,即比值为k,把所有字母都用含有k的式子表示出来,从而达到计算或化简的目的.
1.在中华经典美文阅读中,小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20cm,则它的宽约为( )
A.12.36cm B.13.6cmC.32.36cm D.7.64cm
扬州)如图,练习本中的横格线都平行,且相邻两条横格线间的距离都相等,同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上,若线段AB=4cm,则线段BC=
cm.
类型二 相似多边形
已知矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,沿AE将△ABE向上折叠,使B点落在AD上的F点,若四边形EFDC与矩形ADCB相似,则AD=( )
D.2
【解后感悟】解题关键是根据相似多边形的性质:
对应边的比等于相似比.
葫芦岛)如图,在矩形ABCD中,AD=2,CD=1,连结AC,以对角线AC为边,按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C,再连结AC1,以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1,…,按此规律继续下去,则矩形ABnCnCn-1的面积为____________________.
类型三 相似三角形的判定与性质
(2016·
南充)已知正方形ABCD的边长为1,点P为正方形内一动点,若点M在AB上,且满足△PBC∽△PAM,延长BP交AD于点N,连结CM.
(1)如图1,若点M在线段AB上,求证:
AP⊥BN;
AM=AN;
(2)①如图2,在点P运动过程中,满足△PBC∽△PAM的点M在AB的延长线上时,AP⊥BN和AM=AN是否成立?
(不需说明理由)
②是否存在满足条件的点P,使得PC=
?
请说明理由.
【解后感悟】本题考查相似三角形的性质、正方形的性质、圆的有关知识,解题的关键是熟练应用相似三角形性质解决问题,最后一个问题利用圆的位置关系解决问题.
4.
(1)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,且
,则S△ADE∶S四边形BCED的值为( )
A.1∶
B.1∶2C.1∶3D.1∶4
(2)(2016·
河北)如图,△ABC中,∠A=78°
,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
5.
(1)(2015·
自贡)将一副三角板按图叠放,则△AOB与△DOC的面积之比等于 .
(2)(2015·
无锡市南长区模拟)如图,△ABC中,AB=5,BC=3,CA=4,D为AB的中点,过点D的直线与BC所在直线交于点E,若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似,则DE= .
类型四 与相似三角形相关的问题
如图,点A,B,C,D为⊙O上的四个点,AC平分∠BAD,AC交BD于点E,CE=4,CD=6,则AE的长为( )
A.4B.5C.6D.7
【解后感悟】本题运用圆周角定理、相似三角形的判定与性质,解答本题的关键是得出∠CAD=∠CDB,证明△ACD∽△DCE.
6.
(1)已知:
在△ABC中,BC=10,BC边上的高h=5,点E在边AB上,过点E作EF∥BC,交AC边于点F.点D为BC上一点,连结DE、DF.设点E到BC的距离为x,则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为( )
杭州模拟)在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:
甲:
将边长为3,4,5的三角形按图①的方式向外扩张,得到新的三角形,它们的对应边间距为1,则新三角形与原三角形相似.
乙:
将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张,得到新矩形,它们的对应边间距均为1,则新矩形与原矩形不相似.
对于两人的观点,下列说法正确的是( )
A.两人都对B.两人都不对
C.甲对,乙不对D.甲不对,乙对
(3)(2015·
滨州)如图,在x轴的上方,直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转,若∠BOA的两边分别与函数y=-
、y=
的图象交于B、A两点,则∠OAB的大小的变化趋势为( )
A.逐渐变小B.逐渐变大C.时大时小D.保持不变
7.(2016·
龙东)已知,在平行四边形ABCD中,点E在直线AD上,AE=
AD,连结CE交BD于点F,则EF∶FC的值是 .
【课本改变题】教材母题--浙教版教材九上第149页第5题
课本中有一道作业题:
有一块三角形余料ABC,它的边BC=120mm,高AD=80mm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.问加工成的正方形零件的边长是多少mm?
小颖解得此题的答案为48mm,小颖善于反思,她又提出了如下的问题.
(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成,如图1,此时,这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm?
请你计算.
(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形,如图2,这样,此矩形零件的两条边长就不能确定,但这个矩形面积有最大值,求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.
【方法与对策】本题是课本改变题,试题设置上主要是三角形和矩形的组合,通过基本图形是相似三角形,揭示对应边成比例的关系式来解决问题,再深入探究,规律性较强,这种题型是中考常用的命题方式.
【找不准相似三角形中的对应边】
如图,△ABC中,点D在线段BC上,且△ABC∽△DBA,则下列结论一定正确的是( )
A.AB2=BC·
BDB.AB2=AC·
BD
C.AB·
AD=BD·
BCD.AB·
AD=AD·
CD
参考答案
【考点概要】
2.成比例 3.形状 相等 成比例 边 相等 成比例 全等 4.平行 成比例 成比例 相等 相等 成比例 5.相等 成比例 相似比 平方
【考题体验】
1.B 2.D 3.45 80km
【知识引擎】
【解析】
(1)添加条件是∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC或者
;
(2)由△ADB∽△ABC,得
,得AC=8;
(3)相似三角形知识:
性质、判定等.
【例题精析】
例1
(1)设正方形的边长为2,则CD=2,CF=1.在直角三角形DCF中,DF=
,∴FG=
,∴CG=
-1,∴
,∴矩形DCGH为黄金矩形.故选D.
(2)设
=k(k≠0),根据题意,得x=3k,y=4k,z=
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- 浙江省 中考 数学 复习 第五 基本 图形 28 相似 课时 相似形 讲解
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