高考数学一轮复习第4章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用学案Word下载.docx
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c+b·
c.
[必会结论]
1.设e是单位向量,且e与a的夹角为θ,则e·
a=a·
e=|a|cosθ;
2.当a与b同向时,a·
b=|a||b|;
当a与b反向时,a·
b=-|a||b|,特别地,a·
a=a2或|a|=
;
3.a·
b≤|a||b|.
[考点自测]
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)两个向量的数量积是一个向量.( )
(2)向量在另一个向量方向上的投影也是向量.( )
(3)若a·
b>0,则a和b的夹角为锐角;
若a·
b<0,则a和b的夹角为钝角.( )
(4)若a·
b=0,则a=0或b=0.( )
(5)(a·
b)·
(b·
c).( )
(6)若a·
b=a·
c(a≠0),则b=c.( )
答案
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×
(5)×
(6)×
2.[2018·
重庆模拟]已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k=( )
A.-
B.0C.3D.
答案 C
解析 因为2a-3b=(2k-3,-6),(2a-3b)⊥c,所以(2a-3b)·
c=2(2k-3)-6=0,解得k=3.选C.
3.[2017·
全国卷Ⅰ]已知向量a,b的夹角为60°
,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=________.
答案 2
解析 解法一:
|a+2b|=
=
=2
解法二:
(数形结合法)由|a|=|2b|=2,知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB,如图,则|a+2b|=|
|.又∠AOB=60°
,所以|a+2b|=2
4.[2018·
济南模拟]已知向量|b|=3,a·
b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是________.
答案 -4
解析 因为向量|b|=3,a·
b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是
=-4.
5.[2016·
北京高考]已知向量a=(1,
),b=(
,1),则a与b夹角的大小为________.
答案
解析 a·
b=2
,∴cos〈a,b〉=
,又〈a,b〉∈[0,π],∴〈a,b〉=
6.[课本改编]已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则
·
的值为________;
的最大值为________.
答案 1 1
解析 以D为坐标原点,建立平面直角坐标系如图所示.则D(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1).设E(1,a)(0≤a≤1),所以
=(1,a)·
(1,0)=1,
(0,1)=a≤1.故
的最大值为1.
板块二 典例探究·
考向突破
考向
平面向量数量积的运算
例 1
(1)[2016·
山东高考]已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos〈m,n〉=
.若n⊥(tm+n),则实数t的值为( )
A.4B.-4C.
D.-
答案 B
解析 因为n⊥(tm+n),所以tm·
n+n2=0,所以m·
n=-
,又4|m|=3|n|,所以cos〈m,n〉=
=-
,所以t=-4.故选B.
(2)[2017·
北京高考]已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则
答案 6
根据题意作出图象,如图所示,A(-2,0),P(x,y).
由点P向x轴作垂线交x轴于点Q,则点Q的坐标为(x,0).
=|
||
|cosθ,
|
|=2,|
|=
,
cosθ=
所以
=2(x+2)=2x+4.
点P在圆x2+y2=1上,所以x∈[-1,1].
的最大值为2+4=6.
如图所示,因为点P在圆x2+y2=1上,
所以可设P(cosα,sinα)(0≤α<2π),
=(2,0),
=(cosα+2,sinα),
=2cosα+4≤2+4=6,
当且仅当cosα=1,即α=0,P(1,0)时“=”号成立.
触类旁通
向量数量积的两种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·
b=|a||b|cos〈a,b〉.
(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·
【变式训练1】
(1)[2018·
湖北模拟]已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量
在
方向上的投影为( )
A.
B.
C.-
答案 A
解析
=(2,1),
=(5,5),由定义知
方向上的投影为
(2)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则
=________.
(
-
)=
2-
2=22-
×
22=2.
以A为原点建立平面直角坐标系(如图),可得A(0,0),E(1,2),B(2,0),C(2,2),D(0,2),
=(1,2),
=(-2,2),
则
=(1,2)·
(-2,2)=1×
(-2)+2×
2=2.
平面向量数量积的性质
命题角度1 平面向量的垂直
例 2
(1)如图所示,在△ABC中,AD⊥AB,
,|
|=1,则
=( )
A.2
C.
D.
答案 D
=(
+
)·
|cos∠BDA=
|2=
全国卷Ⅰ]已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=________.
答案 7
解析 ∵a=(-1,2),b=(m,1),
∴a+b=(-1+m,2+1)=(m-1,3).
又a+b与a垂直,∴(a+b)·
a=0,
即(m-1)×
(-1)+3×
2=0,
解得m=7.
命题角度2 平面向量的模
例 3
(1)[2018·
济南模拟]设向量a,b满足|a|=1,|a-b|=
,a·
(a-b)=0,则|2a+b|=( )
A.2B.2
C.4D.4
解析 ∵a·
(a-b)=0,∴a2=a·
b=1,|a-b|2=a2-2a·
b+b2=3,∴b2=4,∴|2a+b|=
.故选B.
(2)已知向量a与b的夹角为120°
,|a|=3,|a+b|=
,则|b|等于( )
A.5B.4C.3D.1
解析 |a+b|2=(a+b)2
=a2+2a·
b+b2
=|a|2+2|a||b|cos120°
+|b|2
=32+2×
3×
|b|×
=9-3|b|+|b|2=13,
即|b|2-3|b|-4=0,
解得|b|=4或|b|=-1(舍去).
命题角度3 平面向量的夹角
例 4
(1)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=
,且|2a+b|=
,则向量a与向量a+b的夹角为( )
D.π
解析 由题意,得|2a+b|2=4+4a·
b+3=7,所以a·
b=0,所以a·
(a+b)=1,且|a+b|=
=2,故cos〈a,a+b〉=
,所以〈a,a+b〉=
山东高考]已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若
e1-e2与e1+λe2的夹角为60°
,则实数λ的值是________.
解析 由题意知|e1|=|e2|=1,e1·
e2=0,
e1-e2|=
=
=2.
同理|e1+λe2|=
所以cos60°
解得λ=
平面向量数量积求解问题的策略
(1)求两向量的夹角:
,要注意θ∈[0,π].
(2)两向量垂直的应用:
两非零向量垂直的充要条件是:
a⊥b⇔a·
b=0⇔|a-b|=|a+b|.
(3)求向量的模:
利用数量积求解长度问题的处理方法有:
①a2=a·
a=|a|2或|a|=
②|a±
b|=
③若a=(x,y),则|a|=
向量运算的最值或取值范围
例 5 [2018·
福建质检]平行四边形ABCD中,AB=4,AD=2,
=4,点P在边CD上,则
的取值范围是( )
A.[-1,8]B.[-1,+∞)
C.[0,8]D.[-1,0]
解析 由题意得
|·
cos∠BAD=4,解得∠BAD=
.以A为原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),C(5,
),D(1,
),因为点P在边CD上,所以不妨设点P的坐标为(a,
)(1≤a≤5),则
=(-a,-
(4-a,-
)=a2-4a+3=(a-2)2-1,则当a=2时,
取得最小值-1,当a=5时,
取得最大值8.故选A.
求向量的最值或范围问题
求最值或取值范围必须有函数或不等式,因此,对于题目中给出的条件,要结合要求的夹角或长度或其他量,得出相应的不等式或函数(包括自变量的范围),然后利用相关知识求出最值或取值范围.
【变式训练2】 在平行四边形ABCD中,∠A=
,边AB,AD的长分别为2,1,若M,N分别是边BC,CD上的点,且满足
,则
的取值范围是________.
答案 [2,5]
解析 设
=λ(0≤λ≤1),
=λ
=(1-λ)
)
+λ
[
+(1-λ)
]
+(1-λ)
2+λ
2+λ(1-λ)
又∵
=2×
1×
cos
=1,
2=4,
2=1,
∴
=-λ2-2λ+5=-(λ+1)2+6.
∵0≤λ≤1,∴2≤
≤5,
即
的取值范围是[2,5].
核心规律
1.计算数量积的三种方法:
定义、坐标运算、数量积的几何意义,要灵活选用,和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.
2.求向量模的常用方法:
利用公式|a|2=a2,将模的运算转化为向量的数量积的运算.
3.利用向量垂直或平行的条件构造方
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- 高考 数学 一轮 复习 平面 向量 数量 应用