第八讲几何变换与全等教师版Word文件下载.docx
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.请你判断并写出
与
之间的数量关系.
(2)如图(3),在
中,如果
不是直角,而
(1)中的其他条件均不变,请问,你在
(1)中得到的结论是否仍然成立?
若成立,请证明;
若不成立,请说明理由.
【解析】
(1)
.证明:
在
上取点
,连接
.
易证
,故
.可证
.
(2)在
∴
【例3】如图,已知
,且
是等腰三角形.
【解析】延长
到
,∴
即
是等腰三角形.
【例4】如图,在
的平分线交
于
,过
作
,垂足为
,求证:
【解析】解法一:
如图,延长
交于
.∴
而
故
解法二:
过
,交
则
解法三:
交
.故有
解法四:
如图,取
的中点
,则
斜边上的中线.
有
的重心.
为
的中线,故
【例5】如图所示,在
的中点,
的平分线,若
且交
的延长线于
,求证
【解析】题目中有角平分线和垂直的条件,因此可以考虑将图形补成等腰
,之后再证明
的中位线即可.
如图所示,延长
和
从而
的中位线,
【例6】已知点
是四边形
的
边的中点,且
证明:
.
【解析】显然,要证题设的不等式,应当把
三条线段首尾连接成一条折线,然后再与线段
比较.要实现这一构想,折线之首端应与
点重合,尾端应与
点重合,这可由轴对称来实现.
以
为对称轴,作点
关于
的对称点
,即
≌
,由此
再以
,所以
注意到
因此
是等边三角形,
由于两点之间以直线段为最短,所以
【巩固】设
是凸四边形
的边
【解析】作点
,作点
连接
且
二、平移与全等问题
【例7】(2007年北京中考)如图,已知
⑴请你在
边上分别取两点
(
的中点除外),连结
,写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件,并表示出面积相等的三角形;
⑵请你根据使⑴成立的相应条件,证明
【解析】⑴如图⑴相应的条件是:
;
两对面积相等的三角形分别是:
⑵(方法1):
如图⑵,分别过点
的平行线,两线交于
点,
点.
所以
中,又
,可证
(方法2):
如图⑶取
中点
,连结
并延长
连结
,延长
可证得
【例8】如图,梯形
,以两腰
为一边分别向两边作正方形
的垂直平分线
交线段
于点
点
的中点.
【解析】过
分别作
的垂线
如图,
之中点,过
,作
中,有
所以有
又由
,知
从而得
同理可知
,而得
,即有
显然,
,又
.从而有
应
知,四边形
是平行四边形,其对角线互相平分,所以
点评:
作平行线的实质就是将两个正方形进行平移,使这两个正方形的一个点重合.
三、旋转与全等
【例9】如图
(1)
均为等边三角形,点
分别在线段
上,
固定不动,
绕
顺时针旋转
,过点
的平行线交于点
。
(1)如图
(2),当
时,
,则旋转角
(2)如图(3),当
时,若
,当
旋转时,
与旋转角
之间的关系为_________。
(3)如图(4),在
旋转过程中,连接
,是判定
随旋转角
的变化情况,并证明。
【解析】
(1)
(2)
;
(3)当
当
证明略
【例10】两块大小不同的含
角的三角板
如图摆放,直角顶点重合,连接
分别为线段
的中点。
(1)如图,若三角板的两直角重合,判断四边形
的形状,并证明你的结论;
(2)从
(1)开始,三角板
顺时针旋转角度
时,
(1)中的结论是否仍然成立,若成立画出一种情形,给出证明;
若不成立,请说明理由。
【解析】
(1)四边形
为正方形。
由梯形中位线性质可知,
∴四边形
为平行四边形
又因为
分别为
中点,
为菱形
(2)三角板
时,
(1)中的结论仍然成立。
同理
为矩形
【例11】四边形
被对角线
分为等腰直角三角形
和直角三角形
,其中
都是直角,另一条对角线
的长度为
,求四边形
的面积.
【解析】将三角形
点旋转
重合,
则有
在同一条直线上,
是三角形.
.所以三角形
是等腰直角三角形.
所以四边形
的面积等于等腰直角三角形
的面积。
【巩固】如图,以正方形的边
为斜边在正方形内作直角三角形
已知
的长分别为
,求三角形
【解析】显然
则逆时针旋转
落在
上.
容易得到
cm2.
【例12】(通州区2009一模第25题)请阅读下列材料:
已知:
如图1在
,点
上两动点,若
.探究线段
三条线段之间的数量关系.
小明的思路是:
把
绕点
,得到
使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题:
⑴猜想
三条线段之间存在的数量关系式,并对你的猜想给予证明;
⑵当动点
在线段
上,动点
运动在线段
延长线上时,如图2,其它条件不变,⑴中探究的结论是否发生改变?
请说明你的猜想并给予证明.
【解析】⑴
证明:
根据
得到
中
⑵关系式
仍然成立
将
沿直线
对折,得
,连
∴在
【例13】在等边
的两边
所在直线上分别有两点
外一点,且
,探究:
当点
分别爱直线
上移动时,
之间的数量关系及
的周长
与等边
的关系.
⑴如图①,当点
在边
上,且
之间的数量关系式_________;
此时
__________
⑵如图②,当点
时,猜想
(1)问的两个结论还成立吗?
写出你的猜想并加以证明;
⑶如图③,当点
分别在边
的延长线上时,若
_________(用
表示)
(2)猜想:
由
是等边三角形,∴
而等边
(3)
【例14】已知
边的中点,
点旋转,它的两边分别交
(或它们的延长线)于
点旋转到
时(如图1),易证
.当
不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;
若不成立,
又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.
【解析】图2成立;
图3不成立。
证明图2:
过点
再证
由信息可知
S△ABC
图3不成立,
的关系是:
【例15】(2010年西城一模)如图1,在平行四边形
恰为
(1)求证:
(2)如图2,点
上,作
求证:
(3)请你在图3中画图探究:
为线段
上任意一点(
不与点
重合)时,作
垂直直线
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