高中数学 第一章 导数及其应用 17 定积分的简单应用教学案 新人教A版选修22Word文档格式.docx
- 文档编号:13268857
- 上传时间:2022-10-09
- 格式:DOCX
- 页数:38
- 大小:305.77KB
高中数学 第一章 导数及其应用 17 定积分的简单应用教学案 新人教A版选修22Word文档格式.docx
《高中数学 第一章 导数及其应用 17 定积分的简单应用教学案 新人教A版选修22Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学 第一章 导数及其应用 17 定积分的简单应用教学案 新人教A版选修22Word文档格式.docx(38页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
(1)恒力做功:
一物体在恒力F(单位:
N)的作用下做直线运动,如果物体沿着与F相同的方向移动了s,则力F所做的功为W=Fs.
(2)变力做功:
如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(a<
b),那么变力F(x)所做的功为W=
F(x)dx.
[点睛] 变速直线运动物体的路程、位移与定积分的关系
如果做变速直线运动物体的速度-时间函数为v=v(t),则物体在区间[a,b]上的位移为定积分
v(t)dt;
物体在区间[a,b]上的路程为
|v(t)|dt.
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)曲线y=x3与直线x+y=2,y=0围成的图形面积为
x3dx+
(2-x)dx.( )
(2)曲线y=3-x2与直线y=-1围成的图形面积为
(4-x2)dx.( )
(3)速度是路程与时间的函数关系的导数.( )
(4)一个物体在2≤t≤4时,运动速度为v(t)=t2-4t,则它在这段时间内行驶的路程为
(t2-4t)dt.( )
答案:
(1)√
(2)√ (3)√ (4)×
2.曲线y=cosx
与坐标轴所围成的图形面积是( )
A.2 B.3
C.
D.4
B
3.已知做自由落体运动的物体的速度为v=gt,则物体从t=0到t=t0所走过的路程为( )
A.
gt
B.gt
D.
C
4.一列车沿直线轨道前进,刹车后列车速度v(t)=27-0.9t,则列车从刹车到停车所前进的路程为________.
405
利用定积分求平面图形的面积
[典例] 求抛物线y2=2x和直线y=-x+4所围成的图形的面积.
[解] 先求抛物线和直线的交点,解方程组
求出交点坐标为A(2,2)和B(8,-4).
法一:
选x为积分变量,变化区间为[0,8],将图形分割成两部分(如图),则面积为
S=S1+S2=2
dx+
dx
=
x
+
=18.
法二:
选y作积分变量,则y的变化区间为[-4,2],如图得所求的面积为
-4
dy
利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤
(1)画出图形.
(2)确定图形范围,通过方程组求出交点的横坐标,确定积分上限和积分下限.
(3)确定被积函数及积分变量,确定时可以综合考察下列因素:
①被积函数的原函数易求;
②较少的分割区域;
③积分上限和积分下限比较简单.
(4)写出平面图形的面积的定积分表达式.
(5)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.
[活学活用]
求曲线y=ex,y=e-x及
直线
x=1所围成的图形的面积.
解:
如图,由
解得交点为(0,1),
所求面积为S=
(ex-e-x)dx=(ex+e-x)
=e+
-2.
求变速直线运动的路程、位移
[典例] 有一动点P从原点出发沿x轴运动,在时刻为t时的速度为v(t)=8t-2t2(速度的正方向与x轴正方向一致).求
(1)t=6时,点P离开原点后运动的路程和点P的位移;
(2)经过时间t后又返回原点时的t值.
[解]
(1)由v(t)=8t-2t2≥0得0≤t≤4,
即当0≤t≤4时,P点沿x轴正方向运动,
当t>
4时,P点向x轴负方向运动.
故t=6时,点P离开原点后运动的路程
s1=
(8t-2t2)dt-
(8t-2t2)dt
-
.
当t=6时,点P的位移为
=0.
(2)依题意,
(8t-2t2)dt=0,
即4t2-
t3=0,解得t=0或t=6,
因为t=0对应于点P刚开始从原点出发的情况,所以t=6为所求,
(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时,将物理问题转化为数学问题是关键.
(2)路程是位移的绝对值之和,因此在求路程时,要先判断速度在区间内是否恒正,若符号不定,应求出使速度恒正或恒负的区间,然后分别计算,否则会出现计算失误.
一质点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度v=t2-4t+3(m/s)运动,求点在t=4s时的位置及经过的路程.
在t=4s时该点的位移为
(t2-4t+3)dt=
(m).
即在t=4s时该点距出发点
m.
又因为v(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3),
所以在区间[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0,
在区间[1,3]上,v(t)≤0.
所以在t=4s时的路程为s=
(t2-4t+3)dt-
(t2-4t+3)dt+
=4(m).
求变力做功
[典例] 一物体在变力F(x)=
(x的单位:
m,F的单位:
N)的作用下,沿着与力F相同的方向从x=0运动到x=5处,求变力所做的功.
[解] 变力F(x)所做的功为
W=
(2x+4)dx+
(x2+2x)dx
=(x2+4x)
=12+60=72(J).
求变力做功的方法步骤
(1)要明确变力的函数式F(x),确定物体在力的方向上的位移.
(2)利用变力做功的公式W=
F(x)dx计算.
(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米,功的单位才为焦耳.
在弹性限度内,用力把弹簧从平衡位置拉长10cm所用的
力是200N,求变力F做的功.
设弹簧所受到的拉力与弹簧伸长的函数关系式为F(x)=kx(k>
0),当x=10cm=0.1m时,F(x)=200N,
即0.1k=200,得k=2000,故F(x)=2000x,
所以力F把弹簧从平衡位置拉长10cm所做的功是
2000xdx=1000x2
=10(J).
层级一 学业水平达标
1.在下面所给图形的面积S及相应的表达式中,正确的有( )
A.①③ B.②③
C.①④D.③④
解析:
选D ①应是S=
[f(x)-g(x)]dx,②应是S=
2
dx-
(2x-8)dx,③和④正确.故选D.
2.一物体以速度v=(3t2+2t)m/s做直线运动,则它在t=0s
到t=3
s时间段内的位移是( )
A.31mB.36m
C.38mD.40m
选B S=
(3t2+2t)dt=(t3+t2)
=33+32=36(m),故应选B.
3.如图所示,阴影部分的面积是( )
A.2
B.2-
D.
选C S=
(3-x2-2x)dx,即F(x)=3x-
x3-x2,则F
(1)=3-
-1=
,F(-3)=-9+9-9=-9.
∴S=F
(1)-F(-3)=
+9=
.故应选C.
4.由y=x2,y=
x2及x=1围成的图形的面积S=( )
A.
B.
D.1
选A 图形如图所示,
x2dx-
x2dx
x3
5.曲线y=x3-3x和y=x围成的图形面积为( )
A.4B.8
C.10D.9
选B 由
解得
或
∵两函数y=x3-3x与y=x均为奇函数,
∴S=2
[x-(x3-3x)]dx=2·
(4x-x3)dx
=2
=8,故选B.
6.若某质点的初速度v(0)=1,其加速度a(t)=6t,做直线运动,则质点在t=2s时的瞬时速度为________.
v
(2)-v(0)=
a(t)dt=
6tdt=3t2
=12,
所以v
(2)=v(0)+3×
22=1+12=13.
13
7.一物体沿直线以速度v=
m/s运动,该物体运动开始后10s内所经过的路程是______.
dt=
(1+t)
8.由y=
,x=1,x=2,y=0所围成的平面图形的面积为________.
画出曲线y=
(x>
0)及直线x=1,x=2,y=0,则所求面积S为如图所示的阴影部分面积.
∴S=
dx=lnx
=ln2-ln1=ln2.
ln2
9.计算曲线y=x2-2x+3与直线y=x+3所围图形的面积.
由
解得x=0及x=3.
从而所求图形的面积
[(x+3)-(x2-2x+3)]dx
(-x2+3x)dx
10.设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且f′(x)=2x+2.
(1)求y=f(x)的表达式;
(2)求y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积.
(1)∵y=f(x)是二次函数且f′(x)=2x+2,
∴设f(x)=x2+2x+c.
又f(x)=0有两个等根,
∴4-4c=0,∴c=1,∴f(x)=x2+2x+1.
(2)y=f(x)的图象与两坐标所围成的图形的面积S=
(x2+2x+1)dx=
x3+x2+x
层级二 应试能力达标
1.一物体在力F(x)=4x-1(单位:
N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=1运动到x=3处(单位:
m),则力F(x)所做的功为( )
A.8J B.10J
C.12JD.14J
选D 由变力做功公式有:
(4x-1)dx=(2x2-x)
=14(J),故应选D.
2.若某产品一天内的产量(单位:
百件)是时间t的函数,若已知产量的变化率为a=
,那么从3小时到6小时期间内的产量为( )
B.3-
C.6+3
D.6-3
选D
=6-3
,故应选D.
3.以初速40m/s竖直向上抛一物体,ts时刻的速度v=40-10t2,则此物体达到最高时的高度为( )
mB.
m
mD.
选A 由v=40-1
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学 第一章 导数及其应用 17 定积分的简单应用教学案 新人教A版选修22 导数 及其 应用 积分 简单 教学 新人 选修 22
链接地址:https://www.bdocx.com/doc/13268857.html