,
从而得到0<1-2x<1,
y=8x+
=4(2x-1)+
+4
=-
+4≤-4+4=0,
当且仅当x=
时,上式取等号.
5.(2019·黄山模拟)已知实数x,y满足
则
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 画出x,y满足的可行域如图阴影部分(含边界),如下图:
由
解得B(2,0),由
解得
C
,
可看作定点A(-1,-1)与可行域内的动点P(x,y)间的斜率,当动点P在B处时,
取最小值为
,当动点P在C处时,
取最大值为
=
,故
≤
≤
.
6.(2019·福建四校联考)若x,y满足约束条件
且向量a=(3,2),b=(x,y),则a·b的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 因为a=(3,2),b=(x,y),所以a·b=3x+2y,
设z=3x+2y,作出约束条件所表示的可行域,如图阴影部分所示(含边界).
由z=3x+2y,则y=-
x+
,平移直线y=-
x+
,由图象可知,当直线y=-
x+
经过点B时,直线y=-
x+
在y轴上的截距最大,此时z最大,由
解得x=y=1,即B(1,1),此时zmax=3×1+2×1=5,
经过点A时,直线y=-
x+
在y轴上的截距最小,此时z最小,由
解得x=y=
,
即A
,此时zmin=3×
+2×
=
,
则
≤z≤5.
7.(2019·柳州模拟)某公司每月都要把货物从甲地运往乙地,货运车有大型货车和小型货车两种.已知4辆大型货车与5辆小型货车的运费之和少于22万元,而6辆大型货车与3辆小型货车的运费之和多于24万元.则2辆大型货车的运费与3辆小型货车的运费比较( )
A.2辆大型货车运费贵B.3辆小型货车运费贵
C.二者运费相同D.无法确定
答案 A
解析 设大型货车每辆运费x万元,小型货车每辆运费y万元,依题意得
作出约束条件表示的可行域如图阴影部分所示.
可知z=2x-3y过C
时,z最小.
∴z>2×3-3×2=0,即2x>3y.
8.(2019·德阳模拟)已知实数x,y满足
若y≥k(x+1)-1恒成立,那么k的取值范围是( )
A.
B.
C.[3,+∞)D.
答案 D
解析 作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分(含边界),其中M(0,2),N(1,0).
则由图象知x≥0,由不等式y≥k(x+1)-1恒成立,
得k(x+1)≤1+y,即k≤
恒成立,
设z=
,
所以k≤zmin,
则z的几何意义是平面区域内的点与定点A(-1,-1)连线的斜率,
由图象知AN的斜率最小,
此时z的最小值为z=
=
,即k≤
,
即实数k的取值范围是
.
9.(2019·株洲模拟)已知M,N是不等式组
所表示的平面区域内的两个不同的点,则|MN|的最大值是( )
A.
B.
C.3
D.
答案 A
解析 作出可行域,为图中四边形ABCD及其内部,
由图象得A(1,1),B(5,1),C(2.5,3.5),D(1,2)四点共圆,BD为直径,
所以|MN|的最大值为|BD|=
=
,选A.
10.(2019·九江模拟)设变量x,y满足约束条件
若目标函数z=ax+by
的最小值为1,则
+
的最小值为( )
A.7+2
B.7+2
C.3+2
D.3+2
答案 D
解析 画出不等式组
表示的可行域如图阴影部分(含边界),
当直线z=ax+by(a>0,b>0)过直线y=1和2x-y-3=0的交点(2,1)时,z有最小值为1,
∴2a+b=1,
+
=(2a+b)
=3+
+
≥3+2
=3+2
,当且仅当a=1-
,b=
-1时等号成立.
11.(2019·湖南五市十校联考)已知正实数a,b,c满足a2-2ab+9b2-c=0,则当
取得最大值时,
+
-
的最大值为( )
A.3B.
C.1D.0
答案 C
解析 由正实数a,b,c满足a2-2ab+9b2-c=0,
得
-
+
=1≥
,
当且仅当
=
,即a=3b时,
取最大值
,
又因为a2-2ab+9b2-c=0,
所以此时c=12b2,
所以
+
-
=
≤
=1,
当且仅当b=1时等号成立.故最大值为1.
12.已知不等式组
表示的平面区域为M,若m是整数,且平面区域M内的整点(x,y)恰有3个(其中整点是指横、纵坐标都是整数的点),则m的值是( )
A.1B.2C.3D.4
答案 B
解析 根据题意可知m>0,又m是整数,
所以当m=1时,平面区域M为
此时平面区域M内只有整点(0,0),(1,0),共2个,
不符合题意;
当m=2时,平面区域M为
此时平面区域M内只有整点(0,0),(1,0),(2,0),
共3个,符合题意;
当m=3时,平面区域M为
此时平面区域M内只有整点(0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),共5个,不符合题意;
依次类推,当m>3时,平面区域M内的整点一定大于3个,不符合题意.
综上,整数m的值为2.
13.(2019·安徽模拟)已知实数x,y满足
其中m>0,若z=2x+y的最小值为1,则实数m的值为________.
答案
解析 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界),联立直线方程可得
A(1,-3m),B
,C(1,2),
平移直线z=2x+y,由图可知,
当直线z=2x+y过点A时,z有最小值,即2-3m=1,解得m=
.
14.已知实数x,y满足不等式组
则目标函数z=4x2+y2的最大值与最小值之和为________.
答案
解析 令t=2x,则x=
,
原可行域等价于
作出可行域如图(阴影部分含边界)所示,
z=4x2+y2=t2+y2的几何意义是可行域内的点P(t,y)到原点O的距离d的平方,由图可知,当点P与点C重合时,d取最大值;d的最小值为点O到直线AB:
t-y-1=0的距离,又C
,故zmax=
+1=
,zmin=
2=
,所以z=4x2+y2的最大值与最小值之和为
.
15.(2019·榆林模拟)已知正数x,y满足x2+y2=1,则
+
的最小值为________.
答案 2
解析 ∵正数x,y满足x2+y2=1,令z=
+
>0,
可得z2=
+
+
=
+
+
=2+
+
+
≥2+2
+
=4+
,
当且仅当
=
即x=y时取等号,
而由题意可得1=x2+y2≥2xy,可得
≥2,
当且仅当x=y时取等号,∴z2≥4+4=8,
∴z≥2
,当且仅当x=y时取等号,
∴
+
的最小值为2
.
16.(2019·乐山模拟)已知实数x,y满足x>1,y>0且x+4y+
+
=11.则
+
的最大值为________.
答案 9
解析 由x+4y+
+
=11,
得
+
=10-[(x-1)+4y],
则
2=10
-
[(x-1)+4y]=10
-
≤10
-(5+2
)=10
-9,
当且仅当
=
,即2y=x-1>0时成立,
令t=
+
,则有t2≤10t-9,解得1≤t≤9,
故
+
的最大值为9.