高等代数北大版课件10.4对称双线性函数PPT文件格式下载.ppt
- 文档编号:13267829
- 上传时间:2022-10-09
- 格式:PPT
- 页数:28
- 大小:781KB
高等代数北大版课件10.4对称双线性函数PPT文件格式下载.ppt
《高等代数北大版课件10.4对称双线性函数PPT文件格式下载.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高等代数北大版课件10.4对称双线性函数PPT文件格式下载.ppt(28页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第十章双线性函数,10.1线性函数,10.2对偶空间,10.3双线性函数,10.4对称双线性函数,10.4对称双线性函数,一、对称双线性函数,二、反对称双线性函数,10.4对称双线性函数,三、正交基,四、双线性度量空间,10.4对称双线性函数,一、对称双线性函数,1.定义,设为数域P上线性空间V上的一个双线性函数,如果对V中任意向量均有则称为对称双线性函数.,10.4对称双线性函数,命题1数域P上n维线性空间V上双线性函数是对称的(反对称的)在V的任意一组基下的度量矩阵是对称的(反对称的).,证:
@#@任取V的一组基,则,2.对称双线性函数的有关性质,10.4对称双线性函数,同样,10.4对称双线性函数,在下的矩阵为,例.,且为正定矩阵.,10.4对称双线性函数,定理5设V是数域P上n维线性空间.是V上对称双线性函数,则存在一组基,使在这组基下的度量矩阵为对角形.,证:
@#@只需证能找到一组基,使,1)若则,2)若不全为0,先证必有,10.4对称双线性函数,否则,若则对有,所以这样的是存在的.,对用归纳法.,时成立.,假设维数上述结论也成立.,将扩充为V的一组基,10.4对称双线性函数,令,则,易证仍是V的一组基.,考察由生成的线性子空间,有且,10.4对称双线性函数,把看成上的双线性函数,,仍是对称的.,由归纳假设,有一组基满足,故是V的一组基,且满足,由于,10.4对称双线性函数,若在基下的度量矩阵为对角矩阵,则对,注,10.4对称双线性函数,推论1设V是复数域上n维线性空间.为V上对称双线性函数.则存在V的一组基对,10.4对称双线性函数,推论2设V是实数域上n维线性空间.为V上对称双线性函数.则存在V的一组基对,为正惯性指数.,10.4对称双线性函数,线性空间V上双线性函数当时,V上函数称为与对应的二次齐次函数.,定义,设的度量矩阵为,给定V的一组基,式中的系数为,有,3.二次齐次函数,
(1),10.4对称双线性函数,不同双线性函数可能导出同一个二次函数.,如:
@#@设两个双线性函数在基,下的度量矩阵为,但可,则对应的二次齐次函数相同.,如:
@#@,10.4对称双线性函数,一个对称双线性函数只能导出一个二次型.,此即为以前学过的二次型.,此时,,而二次型与对称矩阵1-1对应.,10.4对称双线性函数,命题3为V上反对称双线性函数,证:
@#@,对,10.4对称双线性函数,二、反对称双线性函数,1.定义,设为数域P上线性空间V上的一个双线性函数,如果对V中任意向量均有则称为反对称双线性函数.,10.4对称双线性函数,定理6设为n维线性空间V上反对称双线性函数(即)则存在V的一组基使,
(2),2.反对称双线性函数的有关性质,10.4对称双线性函数,即在这组基下的度量矩阵为,10.4对称双线性函数,证:
@#@首先是反对称的,,若为函数,则V的任意一组基皆可取作,结论成立.,.时,若不是函数.,否则若有则,10.4对称双线性函数,所以可取适当使,令即有,.假设维数时结论成立.,将扩充为V的一组基,则,令,10.4对称双线性函数,易证:
@#@仍为V的一组基.,令,则,10.4对称双线性函数,于是,由归纳假设,看作上,双线性函数仍是反对称的.于是有,的基满足
(2).,由于,都有,故满足
(2).,10.4对称双线性函数,为V上对称双线性函数,若非退化的,则有V的一组基满足这样的基叫做V的对于的正交基.,三、正交基,定义,10.4对称双线性函数,为V上反对称双线性函数,若非退化的,则有V的一组基使,所以具有非退化反对称双线性函数的线性空间一定是偶数维的.,附,10.4对称双线性函数,设V是数域P上的一个线性空间,在V上定义了一个非退化的双线性函数.则称V为一个双线性度量空间.特别地,为V上非退化对称双线性函数时,V称为一个伪欧式空间.,四、双线性度量空间,定义,10.4对称双线性函数,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高等 代数 北大 课件 10.4 对称 双线 函数