高等代数北大版课件8.2λ-矩阵的标准形优质PPT.ppt
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高等代数北大版课件8.2λ-矩阵的标准形优质PPT.ppt
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,矩阵的某一行(列)乘以非零常数c;
是一个多项式.,矩阵的某一行(列)加另一行(列)的倍,,一、矩阵的初等变换,定义:
8.2矩阵的标准形,代表第行乘以非零数c;
代表把第行(列)的倍加到第,为了书写的方便,我们采用以下记号,代表两行(列)互换;
注:
行(列).,8.2矩阵的标准形,将单位矩阵进行一次矩阵的初等变换所得的,矩阵称为矩阵的初等矩阵.,二、矩阵的初等矩阵,定义:
全部初等矩阵有三类:
8.2矩阵的标准形,i行,8.2矩阵的标准形,初等矩阵皆可逆.,对一个的矩阵作一次初等行变换,就相当于在在的左边乘上相应的的初等矩,阵;
对作一次初等列变换就相当于在的右,边乘上相应的的初等矩阵.,8.2矩阵的标准形,为矩阵,则称与等价.,矩阵若能经过一系列初等变换化,1)矩阵的等价关系具有:
反身性:
与自身等价.,对称性:
与等价与等价.,传递性:
与等价,与等价,与等价.,三、等价矩阵,定义:
性质:
8.2矩阵的标准形,2)与等价存在一系列初等矩阵,使,1.(引理)设矩阵的左上角元素,且中至少有一个元素不能被它整除,那么一定,可以找到一个与等价的矩阵,它的左上,角元素,且.,四、矩阵的对角化,8.2矩阵的标准形,证:
根据中不能被除尽的元素所在的,位置,分三种情形来讨论:
i)若在的第一列中有一个元素不能被,除尽,,其中余式,且,对作下列初等行变换:
则有,8.2矩阵的标准形,的左上角元素符合引理的要求,,故为所求的矩阵.,ii)在的第一行中有一个元素不能被,除尽,这种情况的证明i)与类似.,iii)的第一行与第一列中的元素都可以被,除尽,但中有另一个元素,8.2矩阵的标准形,被除尽.,对作下述初等行变换:
我们设,8.2矩阵的标准形,矩阵的第一行中,有一个元素:
不能被左上角元素除尽,转为情形ii).,证毕.,8.2矩阵的标准形,2.(定理2)任意一个非零的的一矩阵,都等价于下列形式的矩阵,多项式,且,称之为的标准形.,8.2矩阵的标准形,证:
经行列调动之后,可使的左上角元素,若不能除尽的全部元素,,由引理,可以找到与等价的,且,由引理,又可以找到与等价的,且,如此下去,将得到一系列彼此等价的矩阵:
左上角元素,,若还不能除尽的全部元素,,左上角元素,,8.2矩阵的标准形,但次数是非负整数,不可能无止境地降低.,因此在有限步以后,将终止于一个矩阵,它的左上角元素,而且可以除尽,的全部元素即,对作初等变换:
它们的左上角元素皆为零,而且次数越来越低.,8.2矩阵的标准形,中的全部元素都是可以被除尽的,,因为它们都是中元素的组合.,如果,则对于可以重复上述过程,,进而把矩阵化成,8.2矩阵的标准形,其中与都是首1多项式(与,只差一个常数倍数),而且,能除尽的全部元素.,如此下去,最后就化成了标准形.,8.2矩阵的标准形,例用初等变换化矩阵为标准形.,解:
8.2矩阵的标准形,8.2矩阵的标准形,即为的标准形.,
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