高等代数北大版课件8.4矩阵相似的条件PPT课件下载推荐.ppt
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高等代数北大版课件8.4矩阵相似的条件PPT课件下载推荐.ppt
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2矩阵的标准形,3不变因子,1矩阵,4矩阵相似的条件,6若当(Jordan)标准形的理论推导,5矩阵相似的条件,小结与习题,第八章矩阵,8.4矩阵的相似,8.4矩阵相似的条件,定理:
@#@,数字矩阵相似与等价.,8.4矩阵的相似,设P为数域若有,,则A与B相似.,证:
@#@由,得,即,引理1:
@#@,A与B相似.,8.4矩阵的相似,对任意及任意-矩阵,一定存在-矩阵及,引理2:
@#@,8.4矩阵的相似,证:
@#@,这里且,设,i)若则令,ii)若设,这里为待定矩阵.,于是,8.4矩阵的相似,要使式成立,只需取,即,即可.,同理可证.,8.4矩阵的相似,设,则A与B相似,特征矩阵与等价.,定理:
@#@,证:
@#@,若A与B相似,则存在可逆矩阵T,,于是,由定理6之推论,得,与等价.,使,8.4矩阵的相似,若与等价,,则存在可逆矩阵,使,及,使,存在矩阵,由引理2,对于A,,8.4矩阵的相似,由,有,即,,比较两端,得,8.4矩阵的相似,下证T可逆.,由有,,即,比较两端,得,8.4矩阵的相似,故T可逆.,由引理1,A与B相似.,于是,推论:
@#@设则相似,特征矩阵与有相同的不变因子.,证:
@#@相似,与等价.,与有相同的不变因子.,8.4矩阵的相似,矩阵A的不变因子.,推论说明,矩阵的不变因子是相似不变量.,注:
@#@,因此,可把一个线性变换的任一矩阵的不变因子,定义为此线性变换的不变因子.,矩阵A的特征矩阵的不变因子也称为,对有秩,从而,A有n个不变因子,这n个不变因子的乘积,等于,即,,8.4矩阵的相似,例1.证明:
@#@下列三个矩阵彼此都不相似.,证:
@#@的不变因子是:
@#@,的不变因子是:
@#@,的不变因子是:
@#@,8.4矩阵的相似,故的不变因子各不相同.,彼此不相似.,
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