高等代数北大版课件6.2线性空间的定义优质PPT.ppt
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即对,,在V中都存在唯一的一个元素与它们对应,称为,的和,记为;
在P与V的元素之间还,定义了一种运算,叫做数量乘法:
即,在V中都存在唯一的一个元素与它们对应,称为,的数量乘积,记为如果加法和数量乘,法还满足下述规则,则称V为数域P上的线性空间:
6.2线性空间的定义与简单性质,加法满足下列四条规则:
数量乘法与加法满足下列两条规则:
(具有这个性质的元素0称为V的零元素),数量乘法满足下列两条规则:
;
(称为的负元素),在V中有一个元素0,对,6.2线性空间的定义与简单性质,3线性空间的判定:
注:
1凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也,2线性空间的元素也称为向量,线性空间也称,向量空间但这里的向量不一定是有序数组,称为线性运算,就不能构成线性空间,运算封闭但不满足八条规则中的任一条,则此集合,若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭,或者,6.2线性空间的定义与简单性质,例1引例1,2中的Pn,Px均为数域P上的线性空间,例2数域P上的次数小于n的多项式的全体,再添,的加法和数量乘法,构成数域P上的一个线性空间,,法构成数域P上的一个线性空间,常用Pxn表示,上零多项式作成的集合,按多项式的加法和数量乘,例3数域P上矩阵的全体作成的集合,按矩阵,用表示,6.2线性空间的定义与简单性质,例5全体正实数R,,判断R是否构成实数域R上的线性空间.,1)加法与数量乘法定义为:
2)加法与数量乘法定义为:
例4任一数域P按照本身的加法与乘法构成一个,数域P上的线性空间,6.2线性空间的定义与简单性质,1)R不构成实数域R上的线性空间.,2)R构成实数域R上的线性空间,首先,R,且加法和数量乘法对R是封闭的.,且ak唯一确定,解:
其次,加法和数量乘法满足下列算律,6.2线性空间的定义与简单性质,即a的负元素是;
R构成实数域R上的线性空间,;
6.2线性空间的定义与简单性质,即n阶方阵A的实系数多项式的全体,则V关于矩阵,例6令,的加法和数量乘法构成实数域R上的线性空间,证:
根据矩阵的加法和数量乘法运算可知,其中,,又V中含有A的零多项式,即零矩阵0,为V的零元素.,以f(x)的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为,f(x),则f(A)有负元素f(A).由于矩阵的加法与数,乘满足其他各条,故V为实数域R上的线性空间.,6.2线性空间的定义与简单性质,1、零元素是唯一的.,2、,的负元素是唯一的,记为-,证明:
假设有两个负元素、,则有,利用负元素,我们定义减法:
01010202,证明:
假设线性空间V有两个零元素01、02,则有,二、线性空间的简单性质,6.2线性空间的定义与简单性质,两边加上即得00;
两边加上即得,3、,6.2线性空间的定义与简单性质,证明:
假若则,练习:
1、P273:
习题31)2)4),2、证明:
数域P上的线性空间V若含有一个非零,向量,则V一定含有无穷多个向量.,6.2线性空间的定义与简单性质,证:
设,而数域P中有无限多个不同的数,所以V中有无限,多个不同的向量.,注只含一个向量零向量的线性空间称为零空间.,
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- 高等 代数 北大 课件 6.2 线性 空间 定义