高等代数北大版课件5.2标准形PPT格式课件下载.ppt
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第五章二次型,5.1二次型的矩阵表示,5.2标准形,5.3唯一性,5.4正定二次型,章小结与习题,5.2标准形,一、二次型的标准形,二、合同的变换法,三、小结,5.2标准形,5.2标准形,二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型,它的矩阵是对角阵,平方和的形式?
@#@若能,如何作非退化线性替换?
@#@,任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成,?
@#@,5.2标准形,证明:
@#@,对二次型变量个数n作归纳法.,假定对n1元二次型结论成立.,一、二次型的标准形,过非退化线性替换化成平方和的形式.,1、(定理1)数域P上任一二次型都可经,下面考虑n元二次型,5.2标准形,5.2标准形,这里,,配方法,5.2标准形,它是非退化的,,且使,5.2标准形,使它变成平方和,于是,非退化线性替换,由归纳假设,对有非退化线性替换,5.2标准形,就使变成,5.2标准形,不为零.,由情形1)知,结论成立.,则,这是一个的二次型,且的系数,5.2标准形,这是一个n1元二次型,由归纳假设,结论成立.,总之,数域P上任一二次型都可经过非退化线性,替换化成平方和的形式.,即,5.2标准形,2、二次型的标准形的定义,所变成的平方和形式,注:
@#@1)由定理1任一二次型的标准形是存在的.,2)可应用配方法得到二次型的标准形.,5.2标准形,则,解:
@#@作非退化线性替换,5.2标准形,或,最后令,则,或,再令,5.2标准形,所作的非退化线性替换是,即,则,5.2标准形,3、(定理2)数域P上任一对称矩阵合同于,证:
@#@对A的级数作归纳法.,假定对n1级对称矩阵结论成立,考虑n级矩阵A,,分四种情形讨论:
@#@,使CAC为对角矩阵,即若AA,则存在可逆矩阵,设,一个对角矩阵.,5.2标准形,这里,这里,A1为n1级对称矩阵.,5.2标准形,则,5.2标准形,为对角矩阵.,由归纳假设,存在可逆矩阵G,使,为对角矩阵.,令,5.2标准形,其中,归结为情形1,结论成立.,则,令,显然,2)但有一个,5.2标准形,归结为情形1).,则,5.2标准形,为对角矩阵.,为对角矩阵.,由归纳假设,有n1级可逆矩阵G,使,令则,5.2标准形,例2根据定理2,求例1中二次型的标准形.,情形3),情形1),令,5.2标准形,情形1),令,令,5.2标准形,为对角矩阵.,5.2标准形,作非退化线性替换XCY,,则,即得的标准形,5.2标准形,二、合同的变换法,矩阵的第i列.,5.2标准形,2.合同变换法化二次型为标准形,又,,设对称矩阵A与对角矩阵D合同,则存在可逆矩阵,基本原理:
@#@,C,使.,5.2标准形,对E施行同样的初等列变换便可求得可逆矩阵C满足,就相当于对A作s次合同变换化为D.,所以,在合同变换化矩阵A为对角阵D的同时,,又注意到,所以,,5.2标准形,基本步骤:
@#@,对A作合同变换化为对角矩阵D,对E仅作上述合同变换中的初等列变换得C,作非退化线性替换X=CY,则,即,为标准形.,D为对角阵,且,5.2标准形,注意:
@#@,i)若a110,作合同变换:
@#@将A的第一行的倍,加到第j行,再将所得矩阵的第一列的倍加到,合同变换化对称矩阵为对角阵D时,5.2标准形,ii)若a11=0,而有某个aii0,作合同变换:
@#@,互换1,i两行,再互换1,i两列,所得矩阵的第1行,第1列处元素为aii0,转为情形i),即,5.2标准形,iii)若aii=0,i=1,2,n.则必有某个aij0(ij),作合同变换:
@#@,iv)对i)中A1重复上述做法.,将第j行加到第i行,再将第j列加到第i列,所得矩阵第i行第i列处元素为2aij0.转为情形ii).,5.2标准形,例3用合同变换求下面二次型的标准形,(同例1),5.2标准形,5.2标准形,作非退化线性替换X=CY,则二次型化为标准形,令,则,5.2标准形,对A每施行一次合同变换后所得矩阵必仍为对称矩阵.(因为合同变换保持矩阵的对称性可利用这一点检查计算是否正确.),对A作合同变换时,无论先作行变换还是先作列变换,结果是一致的.,可连续作n次初等行(列)变换后,再依次作n次相应的初等列(行)变换.,说明:
@#@,5.2标准形,作非退化线性替换,f的标准形为,练习:
@#@求下面二次型的标准形,并求出所作的非退化线替性换.,答案:
@#@,5.2标准形,的矩阵为,详解:
@#@,5.2标准形,5.2标准形,5.2标准形,令,则,作非退化线性替换X=CY,则f的标准形为,5.2标准形,三、小结,1、二次型的标准形,基本概念,基本结论,定理2、数域P上任一对称矩阵合同于一个对角矩阵.,2、合同变换,
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