第4讲第二轮复习之函数图象上点的存在性问题中的距离面积与角度尖子班学生版.docx

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第4讲第二轮复习之函数图象上点的存在性问题中的距离面积与角度尖子班学生版

4

第二轮复习之

函数图像上点的存在性问题

中的距离、面积与角度

`

题型一：

存在问题中的距离

中考说明：

从07到13年我们发现各区模拟和中考中有很多考题通过距离来限制动点的位置．比如寻找等腰三角形的顶点等等．

一、线段定值问题：

初中知识涉及点到点的距离，点到线的距离，平行线的距离，距离问题可分为以下几类：

1动点

到定点

的距离等于定长

，其实就是作圆（如图1）．

2动点

到定直线

的距离等于定长

，其实就是作平行线（如图2）．

3动点

到两定平行直线的距离倍差，其实是作平行线（图略）．

4动点到两相交直线的距离相等，其实就是作角平分线．（如图3）

5动点到三角形三边的距离相等，其实就是三角形的内切圆圆心和旁切圆圆心（如图4）．

二、线段最值问题：

题型一：

已知

，

，其中

，求

的最值．如图，以点

为圆心，线段

为半径作圆，

交直线

于点

、

，当点

与点

重合时，

取到最大值为

；当点

和点

重合时，

取到最小值为

．

点评：

首尾相连线段求最值，其实就是旋转共线，不重则大，重叠则小．

题型二：

在直线

上找一点

，使得其到直线同侧两点

的距离之和最小，如图所示．作点

（或

）关于直线

的对称点，再连接另一点与对称点，与

的交点即为

点．

题型三：

直线

交于

，

是两直线间的一点，在直线

上分别找一点

，使得

的周长最短．如图所示，作

点关于

的对称点

，连接

，与

分别交于

两点，即为所求．

题型四：

直线

交于

，

是两直线间的两点，从点

出发，先到

上一点

，再从

点到

上一点

，再回到

点，求作

两点，使

最小．如图所示，作

两点分别关于直线

的对称点

，连接

分别交

于

，即为所求．

点评：

同侧定点问题通过轴对称转化成异侧定点，才能和直线相交．

题型五：

从

点出发，先到直线

上的一点

，再在

上移动一段固定的距离

，再到点

，求作

点使移动的距离最短，如图所示．先将

点向右平移到

点，使

等于

的长，作点

关于

的对称点

，连接

，与直线

的交点即为

点，将

点向左平移线段

的长，即得到

点．

题型

六：

是位于河两岸的两个村庄，要在这条宽度为

的河上垂直建一座桥，使得从

村庄经过桥到

村庄所走的路程最短．如图所示，将点

向垂直于河岸的方向向下平移距离

，到

点，连接

交河岸于

点，过

点作

垂直于河岸，交河岸的另一端为

，即为所求．

点评：

若有定长，则按着定长的方向平移掉定长．

题型七：

垂线段最短．

【例1】在平面直角坐标系

中，抛物线

经过

，

两点．

⑴求此抛物线的解析式；

⑵设抛物线的顶点为

，将直线

沿

轴向下平移两个单位得到直线

，直线

与抛物线的对称轴交于

点，求直线

的解析式；

⑶在⑵的条件下，求到直线

、

、

距离相等的点的坐标．

【例2】已知抛物线

经过点

和点

．

⑴求此抛物线解析式；

⑵点

、

分别是

轴和

轴上的动点，求四边形

周长的最小值；

⑶过点

作

轴的垂线，垂足为

点．点

从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达

点，再沿

到达

点，若

点在对称轴上的运动速度是它在直线

上运动速度的

倍，试确定点

的位置，使得点

按照上述要求到达

点所用的时间最短．（要求：

简述确定

点位置的方法，但不要求证明）

题型二：

存在问题中的面积

中考说明：

经过分析统计近三年北京模拟题和外地中考题，发现二次函数综合题中涉及面积的题目所占比例极大，其原因大致有两点：

一是面积可以通过底和高来限制线段，二是特殊图形面积计算也是中考的考查点．

【例3】抛物线

与

轴交于点

、

（点

在点

右侧），与

轴交于点

，若点

为第二象限抛物线上一动点，连接

、

，求四边形

面积的最大值，并求此时

点的坐标．

【例4】如图，已知抛物线

（b，c是常数，且

）与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为

．

⑴

，点B的横坐标为（上述结果均用含c的代数式表示）；

⑵连接BC，过点A作直线

，与抛物线

交于点E．点D是x轴上一点，其坐标为

，当C，D，E

三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；

⑶在⑵的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB，PC，设所得△PBC的面积为S．

①求S的取值范围；

②若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有个．

题型三：

存在问题中的角度

1.【存在问题中的角度---特殊角】

中考说明：

单个特殊角

一般指

、

、

等，初中阶段主要考察如何利用特殊角度去构造特殊三角形，从而解决相关问题；初高中衔接知识是特殊直线

与抛物线

的交点.

【例5】

如图，在平面直角坐标系

中，点

为抛物线

上一动点，点

的坐标为

，若点

使

，请求出点

的坐标．

2．【存在问题中的角度---构造角度相等或角度和】

【例6】在平面直角坐标系

中，抛物线

与

轴交于

两点（点

在点

的左侧），与

轴交于点

，点

的坐标为

，将直线

沿

轴向上平移

个单位长度后恰好经过

两点．

⑴求直线

及抛物线的解析式；

⑵设抛物线的顶点为

，点

在抛物线的对称轴上，且

，求点

的坐标；

⑶连接

，求

与

两角和的度数．

题型一存在问题中的距离巩固练习

【练习1】在平面直角坐标系

中，抛物线

经过

、

两点，直线

交

轴于点

，且过点

．

⑴求抛物线的解析式；

⑵在x轴上找一点

，使

的值最小，求出点

的坐标；

⑶将抛物线

左右平移，记平移后点

的对应点为

，点

的对应点为

，当四边形

的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形

周长的最小值．

题型二存在问题中的面积巩固练习

【练习2】如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点

，把直线

向下平移后，与反比例函数的图象交于点

，与

轴、

轴分别交于

、

两点.

⑴求

的值；

⑵求过

、

、

三点的抛物线的解析式；

⑶若点

是抛物线上的一个动点，是否存在点

，使凸四边形

的面积

是四边形

面积

的

?

若存在，求点

的坐标；若不存在，请说明理由．

题型三存在问题中的角度巩固练习

【练习3】如图，点

是直线

：

上的点，过点

的另一条直线

交抛物线

于

、

两点．

⑴若直线

的解析式为

，求

，

两点的坐标；

⑵①若点

的坐标为

．当

时，请直接写出点

的坐标；

②试证明：

对于直线

上任意给定的一点

，在抛物线上能找到点

，使得

成立．

⑶设直线

交

轴于点

，若

的外心在边

上，且

，求点

的坐标．

第十八种品格：

坚持

铁杵成针

相传唐代大诗人李白在小的时候很贪玩，不爱读书，也不求上进。

有一天，他正在屋子里读书，书刚读到一半，心烦意乱，又打呵欠，又伸懒腰。

他觉得读书没有意思，作诗又太难，而且坐得腰酸腿疼的。

看看屋里没人，他就悄悄地溜出门去，跑到山下的小河边捉蜻蜓。

走啊，走啊，他终于来到了小河边，忽然他发现小河边上蹲着一个老婆婆，手里拿着一根铁棒，在一块大石头上使劲地磨呀磨呀，她干得十分卖力，汗珠不断从她那花白的鬓角流下来。

李白站在那里看了好久，挺纳闷，始终猜不出来老婆婆磨铁棒是要干什么。

于是走上前问：

“老婆婆，请问你磨这根铁棒干什么？

”

老婆婆擦了一把汗，回答道：

“我要把它磨成绣花针。

”

“真的吗？

”李白很吃惊，“这么大一根铁棒，怎能磨成针呢？

”

老婆婆看到他惊异的样子，笑呵呵地说：

“孩子，铁棒总是越磨越细，只要我下定决心，天天磨，月月磨，还怕磨不成针吗？

干什么事情都要有恒心啊！

”

李白听了，若有所悟，对自己逃学的行为感到十分惭愧，连忙转身跑回家，翻开书本，一遍又一遍地读起书来。

从此，他再也不贪玩，不怕苦，而是发愤学习了。

后来．李白经过自己的不懈努力，终于成为中国历史上一个伟大的诗人。

今天我学到了