高中数学选修22推理与证明直接证明与间接证明Word格式.docx
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要证…,只需证…,只需证…,…,因为…成立,所以…成立.
思考 分析法与综合法有哪些异同点?
答案 相同点:
两者都是直接利用原命题的条件(或结论),逐步推得命题成立的证明方法——直接证明法.不同点:
证法1,由因导果,使用综合法;
证法2,执果索因,使用分析法.
题型一 综合法的应用
例1 已知a,b是正数,且a+b=1,求证:
+
≥4.
证明 方法一 ∵a,b是正数,且a+b=1,
∴a+b≥2
,∴
≤
=
方法二 ∵a,b是正数,∴a+b≥2
>
0,
≥2
∴(a+b)
又a+b=1,∴
方法三
=1+
+1≥2+2
=4.当且仅当a=b时,取“=”号.
反思与感悟 利用综合法证明问题的步骤:
(1)分析条件选择方向:
仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件),分析已知与结论之间的联系与区别,选择相关的公理、定理、公式、结论,确定恰当的解题方法.
(2)转化条件组织过程:
把题目的已知条件,转化成解题所需要的语言,主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化,组织过程时要有严密的逻辑,简洁的语言,清晰的思路.
(3)适当调整回顾反思:
解题后回顾解题过程,可对部分步骤进行调整,并对一些语言进行适当的修饰,反思总结优化解法.
跟踪训练1 已知a,b,c∈R,且它们互不相等,求证a4+b4+c4>a2b2+b2c2+c2a2.
证明 ∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,a4+c4≥2a2c2,∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2),
即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.
又∵a,b,c互不相等.
∴a4+b4+c4>a2b2+b2c2+c2a2.
题型二 分析法的应用
例2 已知a>5,求证
-
<
.
证明 要证
,
只需证
只需证(
)2<(
)2,
只需证2a-5+2
<2a-5+2
只需证a2-5a<a2-5a+6,
只需证0<6.
因为0<6恒成立,
所以
成立.
反思与感悟 分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为一个明显成立的条件.
利用分析法证明时,要求一般格式要规范,其关键词“要证”“只需证”等不能漏掉,这是用分析法证题易忽视的地方.
跟踪训练2 若a,b,c是不全相等的正数,求证lg
+lg
>lga+lgb+lgc.
证明 方法一(分析法)
要证lg
>lga+lgb+lgc,
即证lg
>lg(abc),
·
>abc.
∵
≥
>0,
∴
≥abc>0成立.(*)
又∵a,b,c是不全相等的正数,
∴(*)式等号不成立,∴原不等式成立.
方法二(综合法)
∵a,b,c∈R+,
>0.
>abc,
∴lg
∴lg
题型三 综合法和分析法的综合应用
例3 已知a、b、c是不全相等的正数,且0<
x<
1.
求证:
logx
+logx
<
logxa+logxb+logxc.
logxa+logxb+logxc,
只需证logx
logx(abc).
由已知0<
1,只需证明
abc.
由公式
=abc.
即
abc成立.
∴logx
logxa+logxb+logxc成立.
反思与感悟 综合法推理清晰,易于书写,分析法从结论入手,易于寻找解题思路,在实际证明命题时,常把分析法与综合法结合起来使用,称为分析综合法,其结构特点是:
根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;
根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P;
若由P可推出Q,即可得证.
跟踪训练3 设a,b,c为任意三角形的三边长,I=a+b+c,S=ab+bc+ca,试证明:
3S≤I2<4S.
证明 ∵I=a+b+c,S=ab+bc+ca,∴I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=a2+b2+c2+2S.于是,要证3S≤I2<4S,即证3S≤a2+b2+c2+2S<4S,即证S≤a2+b2+c2<2S.
(1)要证S≤a2+b2+c2,即证a2+b2+c2-ab-bc-ca≥0,即证(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(a2+c2-2ca)≥0,即证(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≥0.
∵(a-b)2≥0,(b-c)2≥0,(a-c)2≥0,∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≥0,∴S≤a2+b2+c2成立.
(2)要证a2+b2+c2<2S,即证a2+b2+c2-2ab-2bc-2ac<0,即证(a2-ab-ac)+(b2-ab-bc)+(c2-ac-bc)<0,即证a[a-(b+c)]+b[b-(a+c)]+c[c-(a+b)]<0.∵a,b,c为任意三角形的三边长,∴a>0,b>0,c>0,且a+b>c,a+c>b,b+c>a,∴a[a-(b+c)]<0,b[b-(a+c)]<0,c[c-(a+b)]<0,∴a[a-(b+c)]+b[b-(a+c)]+c[c-(a+b)]<0,∴a2+b2+c2<2S成立.
综合
(1)
(2)可知,S≤a2+b2+c2<2S成立,于是3S≤I2<4S成立.
因误用证明依据而出错
例4 已知a,b,c均为正实数,求证
≥abc.
错解 因为a2b2+b2c2+c2a2≥3
=3abc
,a+b+c≥3
错因分析 由于对不等式的性质把握不清而导致错误.不等式的性质:
若a>b>0,c>d>0,则ac>bd,但
>
却不一定成立.
正解 因为a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2,c2a2+a2b2≥2a2bc,
把以上三式相加,并化简得a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).
两边同除以正数a+b+c,得
防范措施 在利用分析法或综合法证明问题时,要严格依据有关定理、性质、公理、法则进行证明.
1.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的( )
A.充分条件B.必要条件
C.充要条件D.等价条件
答案 A
2.已知函数f(x)=lg
,若f(a)=b,则f(-a)等于( )
A.bB.-bC.
D.-
答案 B
解析 函数f(x)的定义域为{x|-1<x<1},且f(-x)=-f(x),∴函数f(x)为奇函数,∴f(-a)=-f(a)=-b.
3.若a
+b
>a
,则a,b应满足的条件是__________________.
答案 a≥0,b≥0且a≠b
解析 a
⇔(
)2(
)>0⇔a≥0,b≥0,且a≠b.
4.已知a,b,μ∈(0,+∞),且
=1,则使得a+b≥μ恒成立的μ的取值范围是________.
答案 (0,16]
解析 ∵a,b∈(0,+∞),且
=1,∴a+b=(a+b)
=10+
≥10+2
=16,∴a+b的最小值为16,∴要使a+b≥μ恒成立,需16≥μ,∴0<μ≤16.
5.求证:
2.
证明 因为
=logab,所以左边
=log195+2log193+3log192
=log195+log1932+log1923
=log19(5×
32×
23)
=log19360.
因为log19360<
log19361=2,
1.综合法:
(1)用综合法证明不等式,证明步骤严谨,逐层递进,步步为营,条理清晰,形式简洁,利于表达推理的思维轨迹.
(2)综合法证明问题的步骤:
第一步,分析条件,选择方向;
第二步,转化条件,组织过程;
第三步,回顾反思,适当调整.
2.分析法:
所证结论较为复杂或不好直接从条件证明时,我们往往采用分析法证明问题,其关键是对结论进行等价变形,不等价无意义,也找不到成立的条件.
3.分析综合法:
有时解题需要一边分析,一边综合,称之为分析综合法,它表明分析与综合相互联系,分析的终点是综合的起点,综合的终点又进一步成为分析的起点.运用综合法与分析法联合解题时,一方面要特别注意“分析”那部分的叙述,不能与综合混为一谈,也就是说要注意它们之间的区别;
另一方面,要习惯用分析法探求解题的途径,再用综合法完成命题的证明.
一、选择题
1.要证明
,可选择的方法有下面几种,其中最合适的是( )
A.综合法B.分析法
C.特殊值法D.其他方法
2.已知a,b,c为互不相等的正数,且a2+c2=2bc,则下列关系中可能成立的是( )
A.a>b>cB.b>c>a
C.b>a>cD.a>c>b
答案 C
解析 由a2+c2>2ac,a2+c2=2bc,得2bc>2ac.又∵c>0,∴b>a,可排除A,D.令a=2,b=
,可得c=1或c=4,可知C可能成立.
3.若实数a,b,c满足a+b+c=0,abc>0,则
的值( )
A.一定是正数B.一定是负数
C.可能是0D.正、负不能确定
解析 ∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=0,且a2+b2+c2>0(由abc>0,知a,b,c均不为零),
∴ab+bc+ac<0,
<0.
4.设0<
1,则a=
x,b=1+x,c=
中最大的一个是( )
A.aB.b
C.cD.不能确定
解析 ∵b-c=(1+x)-
=-
∴b<
c.又∵b=1+x>
x=a,∴a<
b<
c.
5.已知A、B为△ABC的内角,则A>
B是s
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