勾股定理毕达哥拉斯定理及各种证明方法Word下载.docx
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=3,那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】
(赵爽证明)
全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等
VRt△DAH今Rt△ABE,AZHDA=ZEAB・
•••ZHAD+ZHAD=90°
:
.ZEAB+ZHAD=
90°
【证法2】
(课本的证明)
做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别
为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形•从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a+b,所以面积相等.
即,整理得宀F八
【证法3】
(1876年美国总统Garfield证明)以a、b为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于>
.把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、
B三点在一条直线上•
•・•Rt△EAD也Rt△CBE,「・/ADE=/BEC.
•・•/AED+/ADE=90o,二/AED+/BEC=
90o.二/DEC=180c—90o=90o.
•••△DEC是一个等腰直角三角形,它的面积等于/.又•・•/DAE=90o,/EBC=90o,二
AD//BC.・・・"
ABCD是一个直角梯形,它的面积等于
...知卄++护宀沪"
■■
【趣闻】:
在1876年一个周末的傍晚,在美国华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨。
由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么。
只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。
于是伽菲尔德便问他们在干什么?
只见那个小男孩头也不抬地说:
“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?
”伽菲尔德答到:
“是5
呀。
”小男孩又问道:
“如果两条直角边分别为5和乙那么这个直角三角形的斜边长又是多少?
”伽菲尔德不加思索地回答到:
“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。
”小男孩又说道:
“先生,你能说出其中的道理吗?
”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心理很不是滋味。
于是伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他留下的难题。
他经过反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理,并给出了简洁的证明方法。
1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年,伽菲尔德就任美国第二十任总统后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为"
总统。
”证法。
【证法4】
(欧几里得证明)做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、CB三点在一条直线上,连结BF、CD.过C作
CLLDE交AB于点M交DE于点L.IAF=AC,
AB=AD,/FAB=/GAD
・•・△FAB也△GAD
n
/
、
F1
D«
■1
矩形MLEB
•・•△FAB的面积等于F,△GAD勺面积等于矩形ADLM勺面积的一半,
・•・矩形ADLM的面积=4同理可证,的面积=沪.
•・•正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB勺面积
.・•沪,即a-^=^.
【证法5】
(利用相似三角形性质证明)
如图,在Rt△ABC中,设直角边ACBC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CDLAB垂足是D.在△ADC和△ACB中,
•・•/ADC=/ACB=90o,/CAD=/BAC二△ADC
s△ACB.
・•・AD:
AC=AC:
AB即M"
.
同理可证,△CDBs△ACB
从而有血=砂AB.:
./匸亠毗~(血>
58)•府■苗,即卩
【证法6】
(邹元治证明)
以a、b为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于>
.把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上,B、F、C三点在一条直线上,CGD三点在一条直线上.
•••Rt△HAE望Rt△EBF,「./AHE=
ZBEF.
•••ZAEH+ZAHE=90o,二ZAE
+ZBEF=90o.
•••ZHEF=180o—90o=90o.
•••四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.
•••Rt△GDH望Rt△HAE,「.ZHGD=ZEHA.
•••ZHG&
ZGHD=90o,•ZEHA+ZGHD=90o.又•••ZGHE=90o,•ZDHA=90o+90o=180o.
・•・ABCD是一个边长为a+b的正方形,它的面积等于(-+*r.
...低詳7...宀
【证法7】
(利用切割线定理证明)
在Rt△ABC中,设直角边BC=a,AC=
b,斜边AB=c.
如图,以B为圆心a为半径作圆,
交AB及AB的延长线分别于DE,贝VBD=BE=BC=a.
因为/BCA=90o,点C在OB上,
所以AC是。
B的切线.由切割线定理,得
即鼻鼾二X.
【证法8】
(作直角三角形的内
切圆证明)
在Rt△ABC中,设直角边BC=a,
AC=b,斜边AB=c.作Rt△ABC
的内切圆OQ切点分别为DE、F(如图),设
OO的半径为r.
•・•AE=AF,BF=BD,CD=CE,
cs-i-gd=r+r=2r,即盘十丹一匚一"
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