初中几何常用辅助线专题文档格式.docx
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AB+BE>AE(三角形两边之和大于第三边)
∴AB+AC>2AD。
例2、如图4-1:
AD为△ABC的中线,且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
BE+CF>EF
延长ED至M,使DM=DE,连接CM,MF。
在△BDE和△CDM中,
∵
∴△BDE≌△CDM(SAS)
又∵∠1=∠2,∠3=∠4(已知)
∠1+∠2+∠3+∠4=180°
(平角的定义)
∴∠3+∠2=90°
,即:
∠EDF=90°
∴∠FDM=∠EDF=90°
在△EDF和△MDF中
∵
∴△EDF≌△MDF(SAS)
∴EF=MF(全等三角形对应边相等)
∵在△CMF中,CF+CM>MF(三角形两边之和大于第三边)
∴BE+CF>EF
【备注】:
上题也可加倍FD,证法同上。
当涉及到有以线段中点为端点的线段时,可通过延长加倍此线段,构造全等三角形,使题中分散的条件集中。
例3、如图3,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。
求证:
∠BGE=∠CHE。
连结BD,并取BD的中点为M,连结ME、MF,
∵ME是ΔBCD的中位线,
∴MECD,∴∠MEF=∠CHE,
∵MF是ΔABD的中位线,
∴MFAB,∴∠MFE=∠BGE,
∵AB=CD,∴ME=MF,∴∠MEF=∠MFE,
从而∠BGE=∠CHE。
方法2:
含有角平分线的题目,利用角平分线的性质做垂线,或构造出全等三角形
例4、如图2-1,已知AB>
AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。
∠ADC+∠B=180
分析:
可由C向∠BAD的两边作垂线。
近而证∠ADC与∠B之和为平角。
例5、已知:
如图3-1,∠BAD=∠DAC,AB>
AC,CD⊥AD于D,H是BC中点。
DH=
(AB-AC)
延长CD交AB于点E,则可得全等三角形。
问题可证。
例6、已知:
如图3-2,AB=AC,∠BAC=90
,BD为∠ABC的平分线,CE⊥BE.
BD=2CE。
给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线,可延长此垂线与另外一边相交,近而构造出等腰三角形。
方法3:
证明两条线段之和等于第三条线段这类题目,常采用截长法或补短法
例7、如图2-2,在△ABC中,∠A=90
°
,AB=AC,∠ABD=∠CBD。
BC=AB+AD
截长法:
在BC上取BE=AB,连接DE,证明△ABD≌△EBD,
则AD=DE=CE,结论可证
补短法:
延长BA到F,使BF=BC,连接DF,证明△BCD≌△BFD,
∠F=∠C=45°
,AF=AD,结论可证
例8:
已知如图6-1:
在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任一点。
AB-AC>PB-PC。
要证:
AB-AC>PB-PC,想到利用三角形三边关系定理证之,因为欲证的是线段之差,故用两边之差小于第三边,从而想到构造第三边AB-AC,故可在AB上截取AN等于AC,得AB-AC=BN,再连接PN,则PC=PN,又在△PNB中,PB-PN<BN,即:
(截长法)
在AB上截取AN=AC连接PN,在△APN和△APC中
∴△APN≌△APC(SAS)
∴PC=PN(全等三角形对应边相等)
∵在△BPN中,有PB-PN<BN(三角形两边之差小于第三边)
∴BP-PC<AB-AC
(补短法)延长AC至M,使AM=AB,连接PM,
在△ABP和△AMP中
∵
∴△ABP≌△AMP(SAS)
∴PB=PM(全等三角形对应边相等)
又∵在△PCM中有:
CM>PM-PC(三角形两边之差小于第三边)
∴AB-AC>PB-PC。
2、梯形常用辅助线做法
通常情况下,通过做辅助线,把梯形转化为三角形、平行四边形,是解梯形问题的基本思路。
至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件。
常见的几种辅助线的作法如下:
作法
图形
平移腰,转化为三角形、平行四边形。
平移对角线。
转化为三角形、平行四边形。
延长两腰,转化为三角形。
作高,转化为直角三角形和矩形。
中位线与腰中点连线。
例1.如图所示,在直角梯形ABCD中,∠A=90°
,AB∥DC,AD=15,AB=16,BC=17.求CD的长.
解:
过点D作DE∥BC交AB于点E.
又AB∥CD,所以四边形BCDE是平行四边形.
所以DE=BC=17,CD=BE.
在Rt△DAE中,由勾股定理,得
AE2=DE2-AD2,即AE2=172-152=64.
所以AE=8.
所以BE=AB-AE=16-8=8.即CD=8.
例2、如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B+∠C=90°
,AD=1,BC=3,E、F分别是AD、BC的中点,连接EF,求EF的长。
过点E分别作AB、CD的平行线,交BC于点G、H,可得
∠EGH+∠EHG=∠B+∠C=90°
则△EGH是直角三角形
因为E、F分别是AD、BC的中点,容易证得F是GH的中点
所以
例3、已知:
梯形ABCD中,AD//BC,AD=1,BC=4,BD=3,AC=4,求梯形ABCD的面积.
如图,作DE∥AC,交BC的延长线于E点.
∵AD∥BC∴四边形ACED是平行四边形
∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5,DE=AC=4
∵在△DBE中,BD=3,DE=4,BE=5
∴∠BDE=90°
.
作DH⊥BC于H,则
例4、如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B=50°
,∠C=80°
,AD=2,BC=5,求CD的长。
延长BA、CD交于点E。
在△BCE中,∠B=50°
。
所以∠E=50°
,从而BC=EC=5,同理可得AD=ED=2
所以CD=EC-ED=5-2=3
例5、如图,在直角梯形ABCD中,AB//DC,∠ABC=90°
,AB=2DC,对角线AC⊥BD,垂足为F,过点F作EF//AB,交AD于点E,求证:
四边形ABFE是等腰梯形。
证:
过点D作DG⊥AB于点G,
则易知四边形DGBC是矩形,所以DC=BG。
因为AB=2DC,所以AG=GB。
从而DA=DB,于是∠DAB=∠DBA。
又EF//AB,所以四边形ABFE是等腰梯形。
例6、如图,在梯形ABCD中,AD为上底,AB>
CD,求证:
BD>
AC。
作AE⊥BC于E,作DF⊥BC于F,则易知AE=DF。
在Rt△ABE和Rt△DCF中,
因为AB>
CD,AE=DF。
所以由勾股定理得BE>
CF。
即BF>
CE。
在Rt△BDF和Rt△CAE中
由勾股定理得BD>
AC
例7、如图,在梯形ABCD中,AB//DC,O是BC的中点,∠AOD=90°
,求证:
AB+CD=AD。
取AD的中点E,连接OE,则易知OE是梯形ABCD的中位线,
从而OE=
(AB+CD)①
在△AOD中,∠AOD=90°
,AE=DE
②
由①、②得AB+CD=AD。
例8、在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=900,E是DC上的中点,连接AE和BE,
∠AEB=2∠CBE。
分别延长AE与BC,并交于F点
∵∠BAD=900且AD∥BC
∴∠FBA=1800-∠BAD=900
又∵AD∥BC
∴∠DAE=∠F
∵∠AED=∠FEC,DE=EC
∴△ADE≌△FCE(AAS)
∴AE=FE
在△ABF中∠FBA=900且AE=FE
∴BE=FE
∴在△FEB中∠EBF=∠FEB
∠AEB=∠EBF+∠FEB=2∠CBE
练习
1、如图,AB=CD,E为BC的中点,∠BAC=∠BCA,求证:
AD=2AE。
2、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:
AD平分∠BAE.
3、如图,AC∥BD,EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA,CD过点E,求证;
AB=AC+BD
4、如图所示,已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,AD+BC=10,DE⊥BC于E,
求DE的长.
5、如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,
(1)若E是AB的中点,且AD+BC=CD,则DE与CE有何位置关系?
(2)E是∠ADC与∠BCD的角平分线的交点,则DE与CE有何位置关系?
6、已知:
如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥BC,E是CD中点,试问:
线段AE和BE之间有怎样的大小关系
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- 初中 几何 常用 辅助线 专题