高二数学 73两条直线的位置关系第二课时大纲人教版必修Word格式文档下载.docx
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7.3.2A)
第二张:
本节例题(记作§
7.3.2B)
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[师]上一节课,我们一起研究了两条直线的平行与垂直问题,得出了两直线平行与垂直的充要条件,现在,我们作一下简单回顾.
[师]两直线平行的充要条件是什么?
[生]两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等,在y轴上的截距不等.
[师]两直线垂直的充要条件是什么?
[生]两直线垂直的充要条件是两直线的斜率之积为-1.
[师]上述两位同学的回答基本正确,但是都忽略了对于条件的说明.两
直线平行或垂直条件都是对于两直线斜率存在时而言,若两直线中有一条或两条斜率不存在,则它们的位置关系较易判断.需要注意的是,若对于含有字母的直线方程讨论位置关系,不应漏斜率为0或斜率不存在等特殊情形.
[师]这一节课,我们将一起研究两直线相交而形成角的问题.
Ⅱ.讲授新课
1.直线l1到l2的角
两条直线l1和l2相交构成四个角,它们是两对对顶角,我们把直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角,叫做l1到l2的角.
[师]这一概念的定义,是为了区分两相交直线所形成的角,也是进一步研究的需要,应注意在这一概念中l1、l2是有顺序的.
如图,直线l1到l2的角是θ1,l2到l1的角是θ2.
并且,有了对这一概念的认识,也就容易理解两直线的夹角的概念.
2.直线l1与l2的夹角
如上图所示,l1到l2的角是θ1,l2到l1的角是θ2=π-θ1,当直线l1与l2相交但不垂直时,θ1和π-θ1,仅有一个角是锐角,我们就把其中的锐角叫做两条直线的夹角.
当直线l1⊥l2时,直线l1和l2的夹角是.
说明:
θ1>0,θ2>0,且θ1+θ2=π.
[师]请大家根据直线l1到l2的角与l1与l2夹角的定义过程中,寻求一下两种角的取值范围有何不同?
[生]l1到l2的角的取值范围是(0°
,180°
),l1与l2的夹角的取值范围是(0°
,].
[师]下面我们一起推导直线l1到l2的角的公式.
3.直线l1到l2的角的公式
tanθ=
(给出投影片§
推导:
设直线l1到l2的角为θ,l1:
y=k1x+b1,l2:
y=k2x+b2.
如果1+k1k2=0,即k1k2=-1,则θ=;
如果1+k1k2≠0
设l1、l2的倾斜角分别是α1和α2,则k1=tanα1,k2=tanα2
由上图
(1)
(2)分别可知:
θ=α2-α1或θ=π-(α1-α2)=π+(α2-α1)
∴tanθ=tan(α2-α1)或tanθ=tan[π+(α2-α1)]=tan(α2-α1)于是tanθ=
[师]根据两直线的夹角定义可知,夹角在(0°
,90°
]范围内变化,所以夹角正切值大于或等于0.故可以由l1到l2的角取绝对值而得到l1与l2的夹角公式.
4.直线l1和l2的夹角公式
tanα=
[师]下面,我们通过例题讲解进一步熟悉两个公式的应用.
5.例题讲解
[例4]求直线l1:
y=-2x+3,l2:
y=x-的夹角(用角度制表示).
解:
由两条直线的斜率k1=-2,k2=1得
∴α=arctan3=71°
34′
评述:
此题是直接应用两直线的夹角公式,要求学生熟练掌握.
[例5]等腰三角形一腰所在直线l1的方程是x-2y-2=0,底边所在直线l2的方程是x+y-1=0,点(-2,0)在另一腰上,求这条腰所在直线l3的方程.
分析:
已经已知l3上一点,故求出l3的斜率k3即可,如图,根据等腰三角形的性质,可得到π-θ1=π-θ2,即θ1-θ2,而θ1、θ2分别为直线l1到l2与l2到l3的角,而根据公式这两角都可用斜率表示,由此可建立关于k3的方程.
设l1、l2、l3的斜率分别为k1,k2,k3,l1到l2的角是θ1,l2到l3的角是θ2,则k1=,k2=-1.
∴tanθ1=
=-3.
因为l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形,所以θ1=θ2,tanθ2=tanθ1=-3.
即=-3,将k2=-1代入得
=-3
解得k3=2.
因为l3经过点(-2,0),斜率为2,写出其点斜式方程为y=2(x-(-2))
即:
2x-y+4=0
这就是直线l3的方程.
此题应用了l1到l2的角的公式及等腰三角形有关知识,并结合了直线方程的点斜式,要求学生注意解答的层次.
Ⅲ.课堂练习
课本P50练习
1.求下列直线l1到l2的角与l2到l1的角:
(1)l1:
y=x+2;
l2:
y=3x+7;
(2)l1:
x-y=5;
x+2y-3=0
(1)∵k1=,k2=3
∴设l1到l2的角为θ1,则
tanθ1=
=1
∴θ1=45°
即l1到l2的角为45°
.
∴l2到l1的角为135°
(2)解:
∵k1=1,k2=-
∴设l1到l2的角为θ1,则l2到l1的角为θ2=π-θ1
∴θ1=π-arctan3.θ2=arctan3
即l1到l2的角为π-arctan3,l2到l1的角为arctan3.
2.求下列两条直线的夹角:
(1)y=3x-1,y=-x+4;
(2)x-y=5;
y=4.
(3)5x-3y=9,6x+10y+7=0.
(1)k1=3,k2=-.
分母为0,正切值不存在.
此时,两直线夹角为90°
(也可根据k1·
k2=-1得出的结论)
(2)k1=1,k2=0
tanα==1
∴α=45°
即两直线夹角为45°
(3)k1=,k2=-
∴k1·
k2=-1
∴两直线夹角为90°
Ⅳ.课时小结
通过本节学习,要求大家掌握两直线的夹角公式,并区分与l1到l2的角的联系与区别,能够利用它解决一定的平面几何问题.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P53习题7.3
8.三角形的三个顶点是A(6,3),B(9,3),C(3,6),求它的三个内角的度数.
由斜率公式:
kAB==0
kBC=
kAC==-1
tanCAB==-1
∴∠CAB=135°
tanABC=
∴∠CBA=arctan=26°
∴∠C=180°
-135°
-26°
34′=18°
26′
9.已知直线l经过点P(2,1),且和直线5x+2y+3=0的夹角等于45°
,求直线l的方程.
设直线l的斜率为k1,直线5x+2y+3=0的斜率为k2.
则k2=-.
tan45°
==1
即
解得k1=-或k1=.
所以直线l的方程为:
y-1=-(x-2)或y-1=(x-2)
3x+7y-13=0或7x-3y-11=0.
(二)
1.预习内容:
P50~51
2.预习提纲:
(1)如何通过直线方程判断两直线相交?
(2)如何求解两直线的交点?
●板书设计
§
7.3.2两直线位置关系
(二)
1.l1到l2的角θ:
0°
<θ<180°
2.l1与l2夹角α:
<α≤90°
3.l1到l2的角的公式:
4.夹角公式:
5.[例4]
[例5]
6.学生练习
2019-2020年高二数学7.3两条直线的位置关系(第五课时)大纲人教版必修
教学目标
1.点关于点对称.
2.点关于直线对称.
3.直线关于点对称.
4.直线关于直线对称.
5.直线系方程.
1.进一步熟悉应用两直线平行、垂直条件.
2.掌握点关于点、直线对称问题.
3.掌握直线关于点、直线对称问题.
4.理解直线系方程的概念并掌握其简单应用.
(三)德育渗透目标
1.认识事物之间在一定条件下的相互转化.
2.学会用联系观点看问题及分析解决问题.
教学重点
点对称问题.
教学难点
点对称问题向直线对称问题的转化.
教学方法
启发式
通过题组解答。
诱导学生思考并发现题组中各题之间的联系与区别,进而找到解决
问题的一般方法,然后通过相互讨论总结点对称问题的求解规律,并能从直线对称问题
的实质出发,找到求解点对称问题的一般方法.
在直线系方程的认知过程中,要求学生注意体会直线系方程的解题优势,并说出自
己的感受,进一步领会自己发现解题方法的乐趣,从而使自己于无形之中得到能力的提
高.
教具准备
幻灯片
第一张:
题组训练一(记作§
7.3.5A)
第二张:
题组训练二(记作§
7.3.5B)
教学过程
I.课题导入
[师]前面几节课,我们重点研究两直线的平行、垂直关系的判断方法,并联系了求两
直线交点,求点到直线距离的公式,从中总结出相应的解题方法.下面,我们将给出相关的题组。
希望大家在解题的过程中,熟练应用前面所学的知识.而后注意发现各知识之间的
联系,再谈谈自己的感受.
Ⅱ.讲授新课(打出了幻灯片§
题组训练一
[例1]已知点A(5.8),B(4,1),试求A点关于B点的对称点C的坐标.
[例2]已知点A的坐标为(一4,4),直线L的方程为3x+y-2=O.求点A关于直线L
的对称点A'的坐标.
[例3]求直线3x-y-4=O关于点P(2,-1)对称的直线L的方程.
[例4]试求直线L1:
x-y-2=0关于直线L2:
3x-y+3=O对称的直线L的方程.
[师]大家在认真审读题目之后。
可以探求一下解题思路,并注意各题之间的区别与
联系,然后大胆地谈出自己的感受,其余同学在注意听取的同时,可以提出不同的见解.
(适当给学生3~5分钟时间思考并解答,然后让学生主动地谈一谈自己的解题感受)
[生甲]若求点A关于点B的对称点C,可根据点B是A、C两点的中点,利用中点坐
标公式求出.
[生乙]对于例1.我是先设出点C(x0·
y0),然后根据|AB|=|BC|得到一个方程.
再由kAB=kAC得到第二个方程,两方程联立方程组求解.
[生丙]虽然乙同学的解题的思路可行,但运算较繁,我认为还是甲同学的解法更为
简捷.
[师]这位同学谈得很好,比较不同方法,并得出较简或者是最简思路。
正是我们所追
求的目标,也体现了解题方法的多样性、灵活性.请同学们继续谈.
[生丁]对于例2.我首先设出A'(x,y),然后设AA'的中点B(x0,y0),根据中点坐标公式可用x,y表示x0,y0,又B在直线L上.可得到关于x、y的一个方程,再根据直线AA'的斜率与直线L的斜率存在互为负倒数关系,得到另一个方程,联立方程组可以求出A,坐标.
[生戊]丁同学的解题思路和我的解题思路大致相同,在此题的解题过程中用到了前
面刚学过的两直线垂直的充要条件.
[生己]还可根据点A与
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