3.2.3空间角的计算、、ppt--高中数学PPT文档格式.ppt
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它的范围是。
总之,空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。
因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角。
异面直线所成角的范围:
思考:
结论:
一、线线角:
所以与所成角的余弦值为,解:
以点C为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示,设则:
所以:
例一:
练习:
在长方体中,,简解:
直线与平面所成角的范围:
二、线面角:
简解:
所以,练习:
x,y,z,设正方体棱长为1,,将二面角转化为二面角的两个面的方向向量(在二面角的面内且垂直于二面角的棱)的夹角。
如图,设二面角的大小为,其中,D,C,B,A,三、面面角:
方向向量法:
二面角的范围:
例三:
如图3,甲站在水库底面上的点A处,乙站在水坝斜面上的点B处。
从A,B到直线(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。
求库底与水坝所成二面角的余弦值。
解:
如图,,化为向量问题,根据向量的加法法则有,于是,得,设向量与的夹角为,就是库底与水坝所成的二面角。
因此,所以,所以库底与水坝所成二面角的余弦值为,三、面面角:
法向量法,注意法向量的方向:
一进一出,二面角等于法向量夹角;
同进同出,二面角等于法向量夹角的补角,设平面,方向朝面外,方向朝面内,属于“一进一出”的情况,二面角等于法向量夹角,小结:
1.异面直线所成角:
2.直线与平面所成角:
D,C,B,A,3.二面角:
一进一出,二面角等于法向量的夹角;
同进同出,二面角等于法向量夹角的补角。
2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是n1=(1,0,1),n2=(0,1,1),那么这条斜线与平面所成的角是_.,1、已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的一个法向量是_.,3.三棱锥P-ABCPAABC,PA=AB=AC,E为PC中点,则PA与BE所成角的余弦值为_.,4.直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,AB=AC=1,则AC1与截面BB1CC1所成角的余弦值为_.,2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是=(1,0,1),=(0,1,1),那么这条斜线与平面所成的角是_.,3、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的钝二面角为_.,练习:
1、已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的一个法向量是_.,600,1350,4.三棱锥P-ABCPAABC,PA=AB=AC,E为PC中点,则PA与BE所成角的余弦值为_.,5.直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,AB=AC=1,则AC1与截面BB1CC1所成角的余弦值为_.,6.正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的中点,则二面角E-BC-A的大小是_,7.正三棱柱中,D是AC的中点,当时,求二面角的余弦值。
8.已知正方体的边长为2,O为AC和BD的交点,M为的中点
(1)求证:
直线面MAC;
(2)求二面角的余弦值.,故,则可设=1,则B(0,1,0),作于E,于F,则即为二面角的大小,在中,即E分有向线段的比为,由于且,所以,在中,同理可求,即二面角的余弦值为,解法二:
同法一,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz,在坐标平面yoz中,设面的一个法向量为,同法一,可求B(0,1,0),由得,解得,所以,可取,二面角的大小等于,即二面角的余弦值为,方向朝面外,方向朝面内,属于“一进一出”的情况,二面角等于法向量夹角,8.证明:
以为正交基底,建立空间直角坐标系如图。
则可得,8.已知正方体的边长为2,O为AC和BD的交点,M为的中点
(1)求证:
(2)求二面角的余弦值.,习题课,例1如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EFPB交PB于点F.
(1)求证:
PA/平面EDB
(2)求证:
PB平面EFD(3)求二面角C-PB-D的大小。
A,B,D,P,E,F,C,例2、如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC底面ABCD。
已知AB=2,BC=2,SA=SB=.
(1)求证
(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。
例3如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA底面ABCD,PA=AB=1,AD=,在线段BC上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450?
若存在,确定点E的位置;
若不存在说明理由。
例4(2006年福建卷)如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,(I)求证:
AO平面BCD;
(II)求异面直线AB与CD所成角的大小;
(III)求点E到平面ACD的距离。
1.正三棱柱中,D是AC的中点,当时,求二面角的余弦值。
2.已知正方体的边长为2,O为AC和BD的交点,M为的中点
(1)求证:
(2)求二面角的余弦值.,练习:
故,则可设=1,则B(0,1,0),作于E,于F,则即为二面角的大小,在中,即E分有向线段的比为,由于且,所以,在中,同理可求,即二面角的余弦值为,解法二:
(2)求二面角的余弦值.,例1如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EFPB交PB于点F.
(1)求证:
A,B,C,D,P,E,F,A,B,C,D,P,E,F,解:
如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1,
(1)证明:
连结AC,AC交BD于点G,连结EG,A,B,C,D,P,E,F,G,
(2)求证:
PB平面EFD,A,B,C,D,P,E,F,(3)求二面角C-PB-D的大小。
A,B,C,D,P,E,F,例2、如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC底面ABCD。
S,A,B,C,D,C,证明:
(1)取BC中点O,连接OA、OS。
(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。
所以直线SD与平面SAB所成角的正弦值为,例3如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA底面ABCD,PA=AB=1,AD=,在线段BC上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450?
D,B,A,C,E,P,解:
以A为原点,AD、AB、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,,设BE=m,则,例4(2006年福建卷)如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,(I)求证:
(I)略(II)解:
以O为原点,如图建立空间直角坐标系,,所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为,(III)解:
设平面ACD的法向量为,则,令,得,是平面ACD的一个法向量,又,所以点E到平面ACD的距离,例5、(2004,天津)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点。
(1)证明:
PA/平面EDB;
(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。
A,B,C,D,P,E,
(1)证明:
设正方形边长为1,则PD=DC=DA=1.连AC、BD交于G点,
(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。
所以EB与底面ABCD所成的角的正弦值为,所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为,方向朝面内,方向朝面外,属于“一进一出”的情况,二面角等于法向量夹角,1、如图,已知:
直角梯形OABC中,OABC,AOC=90,SO面OABC,且OS=OC=BC=1,OA=2。
求:
(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值
(2)OS与面SAB所成角的余弦值(3)二面角BASO的余弦值,【练习】,1、如图,已知:
(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值,1、如图,已知:
(2)OS与面SAB所成角的余弦值,所以OS与面SAB所成角的余弦值为,所以二面角BASO的余弦值为,1、如图,已知:
(3)二面角BASO的余弦值,2、在如图的实验装置中,正方形框架的边长都是1,且平面ABCD与平面ABEF互相垂直。
活动弹子M,N分别在正方形对角线AC和BF上移动,且CM和BN的长度保持相等,记CM=BN=
(1)求MN的长;
(2)a为何值时?
MN的长最小?
(3)当MN的长最小时,求面MNA与面MNB所成二面角的余弦值。
A,B,C,D,E,F,M,N,A,B,C,D,M,N,E,3、如图,在棱长为的正方体中,分别是棱AB,BC上的动点,且。
(1)求证:
;
(2)当三棱锥的体积取最大值时,求二面角的正切值。
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