专题36 一题多解 玩透直线与圆锥曲线刷百题不如解透.docx

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专题36一题多解玩透直线与圆锥曲线刷百题不如解透

一、典例分析，融合贯通

典例1（2011广州二模））已知双曲线

：

和圆

：

（其中原点

为圆心），过双曲线

上一点

引圆

的两条切线，切点分别为

、

．

（1）若双曲线

上存在点

，使得

，求双曲线离心率

的取值范围；

（2）求直线

的方程；

（1）因为

，所以

，所以

．……1分

由

及圆的性质，可知四边形

是正方形，所以

．

因为

，所以

，所以

．3分

故双曲线离心率

的取值范围为

．…………………………………………4分

【点睛之笔】联立方程组，难题无法阻！

【解法2】点斜式法

设

，已知点

，

则

，

．

因为

，所以

，即

．……………………………5分

整理得

．

因为

，所以

．……………………………………………6分

因为

，

，根据平面几何知识可知，

．

因为

，所以

．……………………………………………………7分

所以直线

方程为

．

即

．

所以直线

的方程为

．…………………………………………………8分

【点睛之笔】点斜式，点住死穴！

【点睛之笔】斜率法，此法很正点！

【解后反思】

解法一：

联立方程，不破不立，一立即破！

解法二：

利用点斜式，直奔主题，不走弯路！

解法三：

利用垂直关系转化为斜率问题，将问题数据化！

典例2（2011广州二模））已知双曲线

：

和圆

：

（其中原点

为圆心），过双曲线

上一点

引圆

的两条切线，切点分别为

、

．

（3）求三角形

面积的最大值．

（3）由

（2）知，直线

的方程为

，

所以点

到直线

的距离为

．

因为

，

所以三角形

的面积

．……………………………………10分

以下给出求三角形

的面积

的三种方法：

所以

在

上单调递增，在

上单调递减．……………………12分

当

，即

时，

，……………………13分

当

，即

时，

．

综上可知，当

时，

；当

时，

．………14分

【点睛之笔】导数法，最值的最好导师！

当

，即

时，

，……………………13分

当

，即

时，

综上可知，当

时，

；当

时，

．………14分

【点睛之笔】换元法，越换越圆满！

【解法3】换元法二

设

，则

．…………………11分

因为点

在双曲线

上，即

，即

．

所以

．

【点睛之笔】两次换元，不仅有帅才，更有帅气！

【解后反思】

解法一：

利用导数工具，畅通无阻！

解法二：

换元法，能换则换，不受其乱！

解法三：

两次换元，不走寻常路！

典例3（2011广州一模）已知直线

上有一个动点

过点

作直线

垂直于

轴,动点

在

上,且满足

（

为坐标原点）,记点

的轨迹为

.

（1）求曲线

的方程；

（2）若直线

是曲线

的一条切线,当点

到直线

的距离最短时,求直线

的方程.

（3）解:

设点

的坐标为

则点

的坐标为

.

∵

∴

.

当

时,得

化简得

.……2分

当

时,

、

、

三点共线，不符合题意，故

.

∴曲线

的方程为

.……4分

【点睛之笔】斜截式法，因势利导！

【解法2】点斜式法一

由

，得

，……5分

∵直线

与曲线

相切,设切点

的坐标为

，其中

，

则直线

的方程为：

，化简得

.……6分

点

到直线

的距离

……7分

……8分

……9分

.……10分

当且仅当

，即

时，等号成立.……12分

∴直线

的方程为

或

.……14分

【点睛之笔】点斜式，专点死穴！

【解法3】点斜式法二

由

，得

，……5分

∵直线

与曲线

相切,设切点

的坐标为

，其中

，

则直线

的方程为：

，化简得

.……6分

点

到直线

的距离

……7分

……8分

……9分

.……10分

当且仅当

，即

时，等号成立,此时

.……12分

∴直线

的方程为

或

.……14分

【点睛之笔】另辟蹊径，不可忽视不一样的心！

【解后反思】

解法一：

斜截式法，这可是初中时的“初恋”！

解法二：

点斜式，哪里不懂点哪里！

解法三：

同样的点斜式，不一样的“心”！

典例4设椭圆

的左焦点为

，右顶点为

，离心率为

.已知

是抛物线

的焦点，

到抛物线的准线

的距离为

.

（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（II）设

上两点

，

关于

轴对称，直线

与椭圆相交于点

（

异于点

），直线

与

轴相交于点

.若

的面积为

，求直线

的方程.

【解法1】设直线为

所以，直线

的方程为

，或

.

【点睛之笔】巧妙设元，不用讨论，不费口舌！

【解法2】设直线为

根据条件设直线

的方程为

.联立

与

，消去

得

，解得

，因此有

.结合

的位置，有

，从而

.

设点

由

三点共线，

即

，即

，因此

.又

的面积为

，则

，解得

，因此直线

的方程为

.

【点睛之笔】直接设元，不烧脑！

【解法3】设直线为

【点睛之笔】另辟蹊径，玄之又玄！

【解后反思】

解法一：

巧妙设元，消

与众不同！

解法二：

直接设元，中规中矩！

解法三：

另辟蹊径，耳目一新！

二、精选试题，能力升级

1．【2018河南洛阳市联考】设双曲线

：

的右焦点为

，过

作渐近线的垂线，垂足分别为

，

，若

是双曲线上任一点

到直线

的距离，则

的值为（）

A.B.C.D.无法确定

【答案】B

【解析】由题意，易得，直线

的方程为：

，

设P

，则

=

∴

故选：

B

2．【2018吉林百校联盟联考】已知抛物线

：

的焦点

到其准线

的距离为2，过焦点且倾斜角为

的直线与抛物线交于

，

两点，若

，

，垂足分别为

，

，则

的面积为（）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

3．【2018湖南两市九月调研】如图，过抛物线

的焦点

的直线交抛物线于点

，交其准线

于点

，若点

是

的中点，且

，则线段

的长为（）

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】如图：

过点A作

交l于点D.

由抛物线定义知：

由点

是

的中点，有：

.

所以

.解得

.抛物线

4．【2018广东珠海市九月摸底】已知抛物线C：

y2=4x，过点P（-2，0）作直线l与C交于AB两点，直线l的斜率为k，则k的取值范围是

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】由题意易知：

直线的斜率存在.

设直线l的方程为：

，带入y2=4x

得到：

显然

时，不适合题意；

当

时，

又

所以

故选：

Ａ

5．【2018吉林百校联盟联考】已知双曲线

：

的左、右焦点分别为

，

，过点

且与双曲线

的一条渐进线垂直的直线

与

的两条渐进线分别交于

，

两点，若

，则双曲线

的渐进线方程为__________.

【答案】

则双曲线

的渐进线方程为

.

6．【2018海南省八校联考】已知

是抛物线

的焦点，过

的直线

与直线

垂直，且直线

与抛物线

交于

，

两点，则

__________．

【答案】

7．【2018河南洛阳尖子生联考】如图，点

是抛物线：

（

）的焦点，点

是抛物线上的定点，且

，点

，

是抛物线上的动点，直线

，

斜率分别为

，

．

（1）求抛物线的方程；

（2）若

，点

是抛物线在点

，

处切线的交点，记

的面积为，证明为定值．

【答案】

（1）

（2）

【解析】试题分析：

（1）设

，由

得

带入抛物线方程，解得

值；

（2）设

，

，利用

，又

，得到

，然后求出

，

，而

，带入易得为定值32.

试题解析：

（1）设

，由题知

，所以

，

所以

代入

（

）中得

，即

，

所以抛物线的方程是

．

点睛：

定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.

8．【2018浙江温州一模】已知抛物线

：

（

），焦点为

，直线交抛物线

于

，

两点，

为

的中点，且

．

（1）求抛物线

的方程；

（2）若

，求

的最小值．

【答案】

（1）

；

（2）

.

（2）设直线的方程为

，代入抛物线方程，得

，

∵

，即

，

∴

，即

，

∴

，

∴

，

，

，

，

∴

，

令

，

，则

．

9．【2018广西三校九月联考】已知椭圆方程

为：

，

椭圆的右焦点为

，离心率为

，直线

：

与椭圆

相交于

、

两点，且

（1）椭圆的方程及求

的面积；

（2）在椭圆上是否存在一点

，使

为平行四边形，若存在，求出

的取值范围，若不存在说明理由.

【答案】

（1）

，

（2）不存在

消去

化简得，

，

，

得

.

，

，即

即

=

.

O到直线

的距离

.

10．【2018河南中原名校质检二】已知椭圆

的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线

相切.

（1）求椭圆

的方程：

（2）设

，

是椭圆

上关于轴对称的任意两个不同的点，连结

交椭圆

于另一点

，证明直线

与轴相交于定点

.

【答案】

（1）

（2）