高中数学专题331函数的单调性与导数课时同步试题新人教A版选修Word格式.docx
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5.已知函数
在上不单调,则的取值范围是
6.设,则
A.既是奇函数又是减函数B.既是奇函数又是增函数
C.是有零点的减函数D.是没有零点的奇函数
【解析】因为
,所以是奇函数.
又,所以单调递增,故既是奇函数又是增函数.故选B.
7.已知函数为定义在实数集上的奇函数,且当时,(其中是的导函数),若,,,则
【解析】因为是奇函数,则,则不等式为,即.设,则是偶函数,又,所以是上的减函数,是上的增函数,,,又,所以,即.故选A.
8.(xx新课标全国I文)若函数
在单调递增,则a的取值范围是
A.B.
二、填空题:
请将答案填在题中横线上.
9.函数,的单调递减区间为______________.
【答案】
(也可写为)
【解析】由题意得,令且,则.
10.已知定义在上的可导函数满足,若,则实数的取值范围是______________.
【解析】令,则,故函数在上单调递减,又由题设知,则,故,即.故实数的取值范围是.
11.已知函数是上的可导函数,当时,有,则函数的零点个数是______________.
【答案】1
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
12.已知,证明:
.
【答案】证明见解析.
【解析】令,则.
∵,∴,
∴在上单调递增,
∴.
从而,命题得证.
13.已知函数
,试讨论的单调性.
【答案】见解析.
【解析】
,.
当时,易知在上为减函数,在上为增函数;
当时,在上为增函数,在上为减函数,在上为增函数;
当时,在上为增函数;
当时,在上为增函数,在上为减函数,在上为增函数.
14.已知函数
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数在上是减函数,求实数a的最小值.
(1)函数的单调递增区间是,单调递减区间是;
(2).
(2)因为在上为减函数,且,
所以在上恒成立.
所以当时,.
又
,
故当,即时,.
所以于是,故a的最小值为.
15.(xx新课标全国I文)已知函数
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个零点,求的取值范围.
(1)见解析;
(1)
(i)设,则当时,;
当时,.
所以在上单调递减,在上单调递增.
(ii)设,由得或.
①若,则,所以在上单调递增.
②若,则,故当
时,;
当时,,所以在上单调递增,在上单调递减.
③若,则,故当
时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减.
(2)(i)设,则由
(1)知,在上单调递减,在上单调递增.
又,取b满足b<
0且,
则
,所以有两个零点.
(ii)设a=0,则,所以只有一个零点.
(iii)设a<
0,若,则由
(1)知,在上单调递增.
又当时,,故不存在两个零点;
若,则由
(1)知,在上单调递减,在上单调递增.
又当时,故不存在两个零点.
综上,a的取值范围为.
【名师点睛】本题第
(1)问是用导数研究函数的单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则:
互斥、无漏、最简;
第
(2)问是求参数的取值范围,由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性破解.
2019-2020年高中数学专题复习讲座关于求圆锥曲线方程的方法新课标人教版
高考要求
求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力,解决好这类问题,除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外,还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题,解决这类问题常用定义法和待定系数法
重难点归纳
一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤
定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置
定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0)
定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小
典型题例示范讲解
例1某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部
分,绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其
中A、A′是双曲线的顶点,C、C′是冷却塔上口直径
的两个端点,B、B′是下底直径的两个端点,已知AA
′=14m,CC′=18m,BB′=22m,塔高20m建立
坐标系并写出该双曲线方程
命题意图本题考查选择适当的坐标系建立曲线方
程和解方程组的基础知识,考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力
知识依托待定系数法求曲线方程;
点在曲线上,点的坐标适合方程;
积分法求体积
错解分析建立恰当的坐标系是解决本题的关键
技巧与方法本题是待定系数法求曲线方程
解如图,建立直角坐标系xOy,使AA′在x轴上,AA
′的中点为坐标原点O,CC′与BB′平行于x轴
设双曲线方程为=1(a>0,b>0),则a=AA′
=7
又设B(11,y1),C(9,x2)因为点B、C在双曲线上,所以
有
由题意,知y2-y1=20,由以上三式得y1=-12,y2=8,b=7
故双曲线方程为=1
例2过点(1,0)的直线l与中心在原点,焦点在x轴上
且离心率为的椭圆C相交于A、B两点,直线y=x
过线段AB的中点,同时椭圆C上存在一点与右焦点关
于直线l对称,试求直线l与椭圆C的方程
命题意图本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法,设计新颖,基础性强
知识依托待定系数法求曲线方程,如何处理直线与圆锥曲线问题,对称问题
错解分析不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键
技巧与方法本题是典型的求圆锥曲线方程的问题,解法一,将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程,两式相减得关于直线AB斜率的等式解法二,用韦达定理
解法一由e=,得,从而a2=2b2,c=b
设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上
则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得,(x12-x22)+2(y12-y22)=0,
设AB中点为(x0,y0),则kAB=-,又(x0,y0)在直线y=x上,y0=x0,于是-=-1,kAB=-1,设l的方程为y=-x+1
右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),
由点(1,1-b)在椭圆上,得1+2(1-b)2=2b2,b2=
∴所求椭圆C的方程为=1,l的方程为y=-x+1
解法二由e=,从而a2=2b2,c=b
设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x-1),
将l的方程代入C的方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2b2=0,则x1+x2=,y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=-
直线ly=x过AB的中点(),则,解得k=0,或k=-1
若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身,不能在椭圆C上,所以k=0舍去,从而k=-1,直线l的方程为y=-(x-1),即y=-x+1,以下同解法一
例3如图,已知△P1OP2的面积为,P为线段
P1P2的一个三等分点,求以直线OP1、OP2为渐近
线且过点P的离心率为的双曲线方程
命题意图本题考查待定系数法求双曲线的方
程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的
能力
知识依托定比分点坐标公式;
三角形的面积公式;
以及点在曲线上,点的坐标适合方程
错解分析利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键,正确地表示出
△P1OP2的面积是学生感到困难的
技巧与方法利用点P在曲线上和△P1OP2的面积建
立关于参数a、b的两个方程,从而求出a、b的值
解以O为原点,∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图
的直角坐标系
设双曲线方程为=1(a>0,b>0)
由e2=,得
∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=-x
设点P1(x1,x1),P2(x2,-x2)(x1>0,x2>0),则由点P分所成的比λ==2,得P点坐标为(),又点P在双曲线=1上,所以=1,
即(x1+2x2)2-(x1-2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2①
即x1x2=②
由①、②得a2=4,b2=9
例4双曲线=1(b∈N)的两个焦点F1、F2,P为双曲线上一点,|OP|<5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则b2=_________
解析设F1(-c,0)、F2(c,0)、P(x,y),则
|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)<2(52+c2),
即|PF1|2+|PF2|2<50+2c2,
又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·
|PF2|,
依双曲线定义,有|PF1|-|PF2|=4,
依已知条件有|PF1|·
|PF2|=|F1F2|2=4c2
∴16+8c2<50+2c2,∴c2<,
又∵c2=4+b2<,∴b2<,∴b2=1
答案1
学生巩固练习
1已知直线x+2y-3=0与圆x2+y2+x-6y+m=0相交于P、Q两点,O为坐标原点,若OP⊥OQ,则m等于()
A3B-3C1D-1
2中心在原点,焦点在坐标为(0,±
5)的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为,则椭圆方程为()
3直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P,若过点P且以双曲线12x2-4y2=3的焦点作椭圆的焦点,那么具有最短长轴的椭圆方程为_________
4已知圆过点P(4,-2)、Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4,则该圆的方程为_________
5已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,它的一个焦点为F,M是椭圆上的任意点,|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2,椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M1和M2,且
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- 高中数学 专题 331 函数 调性 导数 课时 同步 试题 新人 选修