最新高等数学上册期末考试试题含答案AEWWord文档下载推荐.docx
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+∞)
(4)由
知收敛半径R=1,当x=1时,级数变为
,由
知级数收敛,当x=-1时,级数变为
是收敛的交错级数,故收敛域为[-1,1].
则S(0)=0,
,
(x≠1)
即
当x≠0时,
,又当x=1时,可求得S
(1)=1
(∵
)
综上所述
3.设某企业固定成本为50,边际成本和边际收入分别为
C′(x)=x2-14x+111,R′(x)=100-2x.
试求最大利润.
设利润函数L(x).
则L(x)=R(x)-C(x)-50
由于L′(x)=R′(x)-C(x)=(100-2x)-(x2-14x+111)=-x2+12x-11
令L′(x)=0得x=1,x=11.
又当x=1时,L″(x)=-2x+12>
0.当x=11时L″(x)<
0,故当x=11时利润取得最大值.且最大利润为
L(11)=
4.有一等腰梯形闸门,它的两条底边各长10m和6m,高为20m,较长的底边与水面相齐,计算闸门的一侧所受的水压力.
如图20,建立坐标系,直线AB的方程为
压力元素为
所求压力为
(20)
=1467(吨)=14388(KN)
5.设星形线的参数方程为x=acos3t,y=asin3t,a>
0求
d)星形线所围面积;
e)绕x轴旋转所得旋转体的体积;
f)星形线的全长.
(2)
(3)xt′=3acos2tsint
yt′=3asin2tcost
xt′2+yt′2=9a2sin2tcos2t,利用曲线的对称性,
6.求下列曲线段的弧长:
a),0≤x≤2;
见图18,2yy′=2.
∴.从而
(18)
b)y=lnx,;
c);
=4.
7.计算底面是半径为R的圆,而垂直于底面一固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.见图17.
(17)
以底面上的固定直径所在直线为x轴,过该直径的中点且垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则底面圆周的方程为:
x2+y2=R2.
过区间[R,R]上任意一点x,且垂直于x轴的平面截立体的截面为一等边三角形,若设与x对应的圆周上的点为(x,y),则该等边三角形的边长为2y,故其面积等于
从而该立体的体积为
8.计算下列积分(n为正整数):
(1)
令
当x=0时t=0,当x=1时t=
由第四章第五节例8知
(2)
由递推公式
可得
9.证明下列等式:
(a为正常数);
证明:
左
右
所以,等式成立.
(2)若
,则
10.利用被积函数奇偶性计算下列积分值(其中a为正常数)
因
为[-a,a]上的奇函数,
;
因为
即被积函数为奇函数,所以原式=0.
为奇函数,故
原式=
是奇函数,故
11.求下列不定积分,并用求导方法验证其结果正确否:
验证:
所以,结论成立.
所以,结论正确.
所以,原式=
故结论成立.
所以,原式成立.
(n>
1,且为正整数).
12.求下列不定积分:
原式
又
故原式=
13.利用基本积分公式及性质求下列积分:
原式=3
14.求如图所示的三角形脉冲函数的频谱函数.
15.曲线弧y=sinx(0<
π)上哪一点处的曲率半径最小?
求出该点的曲率半径.
显然R最小就是k最大,
,得
为唯一驻点.
在
内,
,在
为k的极大值点,从而也是最大值点,此时最小曲率半径为
16.没
求
解:
17.计算抛物线y=4x-x2在它的顶点处的曲率.
y=-(x-2)2+4,故抛物线顶点为(2,4)
当x=2时,
18.利用麦克劳林公式,按
乘幂展开函数
是
的6次多项式,所以
计算出:
故
19.求由下列方程所确定的隐函数
的二阶导数
:
⑴
⑵
⑶
⑷
⑴两边对
求导,得
⑵两边对
⑶两边对
⑷两边对
20.求函数
的反函数
的导数.
故反函数的导数为:
21.设
其中a为常数,
为连续函数,讨论
处的可导性.
故当
时,
处可导,且
当
处不可导.
22.设
,求
,故
23.设
上连续,且
证明:
方程
在[0,a]内至少有一根.
证:
由
上连续知,
若
都是方程
的根,
,由零点定理知,至少
使
是方程
综上所述,方程
内至少有一根.
24.研究下列函数的连续性,并画出图形:
(1)由初等函数的连续性知,
在(0,1),(1,2)内连续,
又
而
处连续,
又,由
,知
处右连续,
综上所述,函数
在[0,2)内连续.函数图形如下:
图1-2
(2)由初等函数的连续性知
内连续,又由
知
不存在,于是
处不连续.
又由
及
,从而
在x=1处连续,
内连续,在
处间断.函数图形如下:
图1-3
(3)∵当x<
0时,
当x=0时,
当x>
由初等函数的连续性知
内连续,
又由
不存在,从而
处间断.综上所述,函数
处间断.图形如下:
图1-4
(4)当|x|=1时,
当|x|<
1时,
当|x|>
即
在(-∞,-1),(-1,1),(1,+∞)内均连续,又由
综上所述,
在(-∞,-1),(-1,1),(1,+∞)内连续,在
处间断.
图形如下:
图1-5
25.利用取对数的方法求下列幂指函数的极限:
(1)令
于是:
即
(2)令
于是
故
(3)令
从而
(4)令
26.证明:
证:
(1)由
得
解方程
所以
的反函数是
(2)由
得
所以函数
的反函数为
27.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角
=40°
如图所示.当过水断面ABCD的面积为定值S0时,求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式,并指明其定义域.
图1-1
从而
由
得定义域为
28.证明:
和
互为反函数.
解得
故函数
这与
是同一个函数,所以
29.设
30.a,b,c取何实数值才能使
成立.
而该极限又存在,故b=0.用洛必达法则,有
所以
或
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1.无
2.无
3.无
4.无
5.无
6.无
7.无
8.无
9.无
10.无
11.无
12.无
13.无
14.无
15.无
16.无
17.无
18.无
19.无
20.无
21.无
22.无
23.无
24.无
25.无
26.无
27.无
28.无
29.无
30.无
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