中考数学菱形的性质与判定分类试题苏教版Word文档格式.docx
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(2011广东佛山,6,3)依次连接菱形的各边中点,得到的四边形是
A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形
【答案】A
【思路分析】因为顺次连结四边形各边中点所围成的四边形是平行四边形,而菱形的对角线互相垂直,所以依次连接菱形的各边中点,得到的四边形是矩形.
【方法规律】顺次连结四边形各边中点所围成的四边形是平行四边形.
【易错点分析】错误认为菱形对角线互相垂直且相等,而误选C.
【关键词】中位线 【难度】★☆☆☆☆ 【题型】常规题
(2011湖北襄阳,10,3分)顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形,则四边形ABCD一定是
A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形
【答案】D
【思路分析】因为菱形的对角线互相垂直,所以顺次连接菱形各边的中点所得四边形一定是矩形,选项A错误;
同理,选项B错误;
虽然矩形的对角线相等,顺次连接矩形各边的中点所得四边形一定是菱形,但是,只要是顺次连接对角线相等的四边形各边的中点,就一定能够得到菱形,所以,选项C错误,应选D.
【方法规律】如下图所示:
顺次连接任意四边形ABCD各边的中点,根据三角形中位线定理,易得HG∥AC∥EF,且
,则HG与EF平行且相等,所以四边形EFGH一定是平行四边形,又
,当且仅当AC=BD时,HE=HG,此时□EFGH为菱形,所以,只要四边形ABCD对角线AC,BD相等即可.
【易错点分析】对特殊四边形的性质与判定方法不熟悉,容易误选C.
【关键词】平行四边形矩形菱形三角形中位线
【难度】★★☆☆☆
【题型】常规题易错题好题
(2011湖北宜昌,12,3分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则下列结论一定正确的是().
A.∠HGF=∠GHEB.∠GHE=∠HEF
C.∠HEF=∠EFGD.∠HGF=∠HEF
(第12题图)
【答案】D
【思路分析】因为点E,F,G,H分别是等腰梯形的AB,BC,CD,DA的中点,所以四边形EFGH为菱形,根据菱形的性质可以判断,故选D.
【方法规律】连接等腰梯形的对角线,构造三角形,利用三角形中位线定理及等腰梯形的对角线相等的性质容易证明四边形EFGH的形状为菱形.
【易错点分析】识别中点四边形的形状
【关键词】平行四边形、梯形、三角形中位线【推荐指数】★★★【题型】常规题
一.填空题
(2011河北,14,3分)如图6,已知菱形ABCD,其顶点A,B在数轴对应的数分别为-4和1,则BC=__.
【答案】5
【思路分析】∵顶点A,B在数轴对应的数分别为-4和1,∴AB=5,∵四边形ABCD为菱形,∴BC=AB=5.
【方法规律】本题考查菱形的性质:
菱形的各边长相等。
【易错点分析】由条件“顶点A,B在数轴对应的数分别为-4和1”,推断AB的长为3,导致解题错误。
【关键词】菱形
【推荐指数】★☆☆☆☆
【题型】常规题
二.解答题
22.(2011山东临沂,22,7分)如图,△ABC中,AB=AC,AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°
,=2CD,对角线AC与BD相交于点O,线段OA,OB的中点分别为点E,F
(1)求证:
AC=AD;
(2)若∠B=60°
,求证:
四边形ABCD是菱形;
【解】
(1)证明:
∵AB=AC,
∴∠B=∠BCA,
∴∠EAC=∠B+∠BCA=2∠B,
∵AD平分∠FAC,
∴∠FAD=∠B,
∴AD∥BC,……………………………………………………………………(2分)
∴∠D=∠DCE,
∵CD平分∠ACE,
∴∠ACD=∠DCE,
∴∠D=∠ACD,………………………………………………………………(3分)
∴AC=AD;
……………………………………………………………………(4分)
(2)证明:
∵∠B=60°
,
∴∠ACB=60°
,∠FAC=∠ACE=120°
∴∠DCE=∠B=60°
,………………………………………………………(5分)
∴DC∥AB,
∵AD∥BC,
∴四边形ABCD为平行四边形,……………………………………………(6分)
又由
(1)知AC=AD,
∴AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形.……………………………………………………(7分)
【思路分析】
(1)
(2)可先证明四边形ABCD为平行四边形,再证一组邻边相等.
【方法规律】要熟记证明四边形为平行四边形及菱形的所有判定定理,深入挖掘已知条件.
【关键词】平行四边形,菱形.【难度】★★★☆☆【题型】常规题,综合题
(2011贵州毕节,24,13分)已知梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD(如图所示),∠BAD的平分线AE交BC于点E,连结DE.
(1)在下图中,用尺规作∠BAD的平分线AE(保留作图痕迹不写作法),并证明四边形ABED是菱形。
(7分)
(2)若∠ABC=
,EC=2BE.求证:
ED⊥DC(6分)
(1)如下图
证明:
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠DAE
∵AB=ADAE=AE
∴ΔABE≌ΔADE
∴BE=DE
∵AD∥BC
∴∠DAE=∠AEB
∴∠BAE=∠AEB
∴BE=AB
∴AB=BE=DE=AD
∴四边形ABED是菱形
(2)如图,过点D作DF∥AE交BC于点F
∵ABED是菱形
∴AB∥DE
∴∠DEF=∠DFE=
∴ΔDEF为等边三角形
∵EC=2BE
∴EF=DF=CF
∴∠CDF=
∠DFE=
∴∠CDE=
+
=
∴ED⊥DC
(1)四边形ABED中,已有两边相等,所以再证另外两边均和它们相等即可,显然ΔABE≌ΔADE(SAS),则BE=DE,又借助角平分线、平行线说明AB=BE,则四条边都相等的四边形是菱形;
(2)∠ABC=
转化到∠DEF=60°
,可见关键是证出∠C=30°
,作DF∥AE,构造等边三角形即可。
【方法规律】本题考查了菱形的判定、尺规作图等知识,菱形的判定常用的方法有:
四条边都相等的四边形是菱形;
一组邻边相等的平行四边形是菱形。
在梯形中,有角为60°
,一般是构造等边三角形。
【易错点分析】对于尺规作图为保留弧线或菱形的判定方法掌握不好.
【关键词】尺规作图,菱形的判定,全等,直角三角形
【推荐指数】★★☆☆☆
【题型】常规题,操作题
(2011北京市,24,7分)在□ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.
(1)在图1中证明
;
(2)若
,G是EF的中点(如图2),直接写出∠BDG的度数;
(3)若
,FG∥CE,
,分别连结DB、DG(如图3),求∠BDG的度数.
【答案】
如图1.
∵AF平分∠BAD,
∴∠BAF=∠DAF
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠F.
∴∠CEF=∠F.
∴CE=CF
(2)∠BDG=45°
(3)解:
分别连结GB、GE、GC(如图3)
∵AB∥DC,∠ABC=120°
∴∠ECF=∠ABC=120°
∵FG∥CE且FG=CE.
∴四边形CEGF是平行四边形.
由
(1)得CE=CF,
平行四边形CEGF是菱形.
∴EG=EC,∠GCF=∠GCE=
∠ECF=60°
∴△ECG是等边三角形
∴EG=CG,①
∠GEC=∠EGC=60°
∴∠GEC=∠GCF.∴∠BEG=∠DCG.②
由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB.
∴AB=BE.
在平行四边形ABCD中,AB=DC.
∴BE=DC.③
由①②③得△BEG≌△DCG.
∴BG=DG.∠1=∠2.∴∠BGD=∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC=60°
∴∠BDG=
=60°
.
【思路分析】由角平分线及平行线的性质可推出CE=CF;
连接BG、CG,由SAS可证△DGF≌△BGC,得到△BGD为等腰直角三角形,所以∠BDG=45°
同理可得△BGD为等腰三角形,再证△BGD为等边三角形,从而得到∠BDG=60°
。
【方法规律】特殊图形中包括着边角的关系,只要找到特殊的图形,就能沟通边角间的关系。
【易错点分析】不能做出辅助线从而找到特殊的三角形;
不能证明∠BDG为60度。
【关键词】平行四边形,矩形,菱形,角平分线
【推荐指数】★★★★☆
【题型】新题,好题
(2011江苏常州,23,7分)已知:
如图,在梯形ABCD中AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E为AB中点.
求证:
四边形BCDE是菱形.
【证明】∵AD⊥BD,∴∠ADB=90°
又E为AB中点,∴DE=
AB,BE=
AB,∴DE=BE
∴∠DBE=∠EDB.
又AB∥CD,∴∠BDC=∠EDB.
∵BC=CD,∴∠DBC=∠DBC.
∴BC∥DE.
∵EB∥CD,
∴四边形BCDE是平行四边形;
∵BC=CD,
∴四边形BCDE是菱形.
【思路分析】先利用两组对边分别平行,证明四边形BCDE是平行四边形,再来利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形,证明四边形BCDE是菱形.
【方法规律】菱形的判定方法有:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.4边都相等的四边形是菱形.有一组邻边相等平行四边形的是菱形.
【易错点分析】在证明菱形时,注意前提条件是四边形还是平行四边形,不要用错判定条件.
【关键词】平行四边形、菱形
【推荐指数】★★☆☆☆
【题型】常规题
(2011江苏常州,25,6分)已知:
如图1,图形①满足:
AD=AB,MD=MB,∠A=72°
,∠M=144°
.图形②与图形①恰好拼成一个菱形(如图2).记作AB的长度为a,BM的长度为b.
(1)图中①中∠B=___度,图中②中∠E=____度.
(2)小明有两种纸片各若干张,其中一种纸片的形状
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