高中数学第一章导数及其应用112瞬时变化率导数二习题苏教版选修22Word文档格式.docx
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∴
=-Δx-1,
当Δx→0时,
→-1,
∴f′
(2)=-1.
反思与感悟 求函数y=f(x)在x=x0处的导数步骤如下:
①求函数值的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
②求平均变化率
;
③求导数,当Δx→0时,
→A,则f′(x0)=A.
跟踪训练1 求函数f(x)=3x2-2x在x=1处的导数.
解 Δy=3(1+Δx)2-2(1+Δx)-(3×
12-2×
1)=3(Δx)2+4Δx,
=3Δx+4,
→4,
∴f′
(1)=4.
探究点二 导数概念的应用
思考1 导函数f′(x)和f(x)在一点处的导数f′(x0)有何关系?
答 函数f(x)在一点处的导数f′(x0)是f(x)的导函数f′(x)在x=x0处的函数值.
思考2 f′(x0)与f′(x)的区别是什么?
答 f′(x)是函数f(x)的导函数,简称导数,是对一个区间而言的,它是一个确定的函数,依赖于函数本身,而与x0,Δx无关;
f′(x0)表示的是函数f(x)在x=x0处的导数,是对一个点而言的,它是一个确定的值,与给定的函数及x0的位置有关,而与Δx无关.
思考3 导数有哪些主要应用?
答 在物理上,导数可以解决一些瞬时速度、瞬时加速度问题;
在函数图象上,利用导数可求曲线在某点处切线的斜率;
在实际问题中,导数可以表示事物变化的快慢,解决膨胀率,降雨强度,边际函数等问题.
例2 已知曲线y=
在点(1,4)处的切线与直线l平行,且与l的距离等于
,求直线l的方程.
解 ∵Δy=
-
=-
,
.
当Δx无限趋近于0时,
无限趋近于-4.
∴曲线在点(1,4)处的切线的斜率为-4.
故切线方程为y-4=-4(x-1),即4x+y-8=0.
设直线l的方程为4x+y+c=0,
由题意有
∴c1=9,c2=-25,
所以直线l的方程为4x+y+9=0或4x+y-25=0.
反思与感悟 利用导数的几何意义来求曲线切线的斜率,注意给出的点必须是切点才能直接根据导数求切线斜率,否则要先求切点.
跟踪训练2 已知函数y=f(x)在点(
,3)处的切线方程为y=kx-1,则f′(
)=________.
答案 2
解析 由点(
,3)在直线y=kx-1上得3=k×
-1,
∴k=2
根据导数的几何意义f′(
)=2
思考4 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点?
答 不一定.
曲线的切线和曲线不一定只有一个交点,和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切.如图,曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线.
思考5 曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与曲线过某点(x0,y0)的切线有何不同?
答 曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是切点,只要求出k=f′(x0),利用点斜式写出切线方程即可;
而曲线f(x)过某点(x0,y0)的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是切点.
例3 试求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.
解
=2x+Δx,
无限趋近于2x,
所以f′(x)=2x.
设所求切线的切点为A(x0,y0),
因为A在曲线y=x2上,所以y0=x
又因为A是切点,所以过点A的切线的斜率k=2x0.
因为所求切线过P(3,5)和A(x0,y0)两点,
所以斜率可以表示为
故
=2x0,解得x0=1或5.
从而切点的坐标为A(1,1)或A(5,25).
当切点的坐标为A(1,1)时,
切线的斜率为k=2x0=2;
当切点的坐标为A(5,25)时,
切线的斜率为k=2x0=10.
所以所求的切线有两条,
方程分别为y-1=2(x-1)和y-25=10(x-5),
即2x-y-1=0和10x-y-25=0.
反思与感悟
(1)求曲线上某点处的切线方程,可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率,然后利用点斜式写出切线方程;
(2)求曲线过某点的切线方程,要先求出切点坐标,再按
(1)完成解答.
跟踪训练3 已知曲线y=2x2-7,求:
(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x-y-2=0?
(2)曲线过点P(3,9)的切线方程.
=4x+2Δx.
∴Δx→0时,
→4x.
(1)设切点为(x0,y0),
则4x0=4,x0=1,y0=-5,
∴切点坐标为(1,-5).
(2)由于点P(3,9)不在曲线上.
设所求切线的切点为A(x0,y0),则切线的斜率k=4x0,
故所求的切线方程为y-y0=4x0(x-x0).
将P(3,9)及y0=2x
-7代入上式,
得9-(2x
-7)=4x0(3-x0).
解得x0=2或x0=4,所以切点为(2,1)或(4,25).
从而所求切线方程为8x-y-15=0和16x-y-39=0.
1.已知f(x)=-x2+10,则f(x)在x=
处的瞬时变化率为________.
答案 -3
解析 ∵
=-Δx-3,
无限趋近于-3.
2.函数y=x+
在x=1处的导数为________.
答案 0
解析
无限趋近于0.
3.质点按S(t)=3t-t2作直线运动,当其瞬时速度为0时,t=______.
答案
解析 根据导数的定义可求得S′(t)=3-2t.
令S′(t)=3-2t=0,得t=
4.求函数f(x)=x-
的导函数.
解 ∵Δy=(x+Δx)-
-(x-
)
=Δx+
=1+
∴当Δx→0时,1+
→1+
∴函数f(x)的导函数为1+
[呈重点、现规律]
1.导数就是瞬时变化率,是平均变化率
当Δx→0时的无限趋近值.
2.函数f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x=x0处的函数值.
3.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤
(1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0);
(2)根据直线的点斜式方程,得切线为y-y0=f′(x0)(x-x0).
一、基础过关
1.下列说法正确的是________(填序号).
①若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处就没有切线;
②若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f′(x0)必存在;
③若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在;
④若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则f′(x0)有可能存在.
答案 ③
解析 k=f′(x0),所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在,而当斜率不存在时,切线方程也可能存在,其切线方程为x=x0.
2.
已知y=f(x)的图象如图所示,则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是________.
答案 f′(xA)<
f′(xB)
解析 由导数的几何意义,f′(xA),f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率,由图象可知f′(xA)<
f′(xB).
3.已知f(x)=
,则当Δx→0时,
无限趋近于________.
答案 -
解析 ∵f(2+Δx)-f
(2)=
→-
4.曲线y=x3+x-2在点P处的切线平行于直线y=4x-1,则此切线方程为____________.
答案 4x-y-4=0或4x-y=0
解析 设P(x0,y0),由导数定义可得y=x3+x-2在点x=x0处的导数为3x
+1,令3x
+1=4,∴x0=±
1,∴切点P的坐标为(1,0)或(-1,-4),故切线方程为4x-y-4=0或4x-y=0.
5.设函数f(x)=ax3+2,若f′(-1)=3,则a=________.(已知(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3)
答案 1
=[a(Δx)2-3aΔx+3a].
∴当Δx无限趋近于0时,
无限趋近于3a,
即3a=3,∴a=1.
6.设一汽车在公路上做加速直线运动,且ts时速度为v(t)=8t2+1,若在t=t0时的加速度为6m/s2,则t0=________s.
7.用导数的定义,求函数y=f(x)=
在x=1处的导数.
解 ∵Δy=f(1+Δx)-f(x)=
无限趋近于-
∴f′
(1)=-
二、能力提升
8.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f
(1))处的切线方程是y=
x+2,则f
(1)+f′
(1)=________.
答案 3
解析 由在M点的切线方程y=
x+2
得f
(1)=
×
1+2=
,f′
(1)=
∴f
(1)+f′
(1)=
+
=3.
9.若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是________.(填序号)
答案 ①
解析 依题意,y=f′(x)在[a,b]上是增函数,则在函数f(x)的图象上,各点的切线的斜率随着x的增大而增大,观察四个图象,只有①满足.
10.若曲线y=2x2-4x+P与直线y=1相切,则P=________.
解析 设切点坐标为(x0,1),则f′(x0)=4x0-4=0,
∴x0=1,即切点坐标为(1,1).
∴2-4+P=1,即P=3.
11.已知抛物线y=x2+4与直线y=x+10.求:
(1)它们的交点;
(2)抛物线在交点处的切线方程.
解
(1)由
解得
或
∴抛物线与直线的交点坐标为(-2,8)或(3,13).
(2)∵y=x2+4,
=Δx+2x,
→2x.
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- 高中数学 第一章 导数 及其 应用 112 瞬时 变化 习题 苏教版 选修 22