彩票中的数学数学建棋含程序 精品Word文件下载.docx
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注
全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):
全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):
数学建模
——彩票中的数学
一.问题重述
近年来社会上出现的彩票越来越多,买彩票的人也越来越多,这样就需要选出一种较好的方案,使得彩票公司和购买彩票的人都较满意。
中国流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种。
摸彩规则如下:
①“传统型”采用“10选6+1”方案:
先从6组0~9十个号码中摇出6个基本号码,每组摇出一个,然后从0~4号球中摇出一个特别号码,构成中奖号码。
投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码(可重复),从0~4中选一个特别号码,构成一注,根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。
以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级,如表一(X表示未选中的号码)。
表一
中奖
等级
10选6+1(6+1/10)
基本号码特别号码
说明
一等奖
abcdefg
选7中(6+1)
二等奖
abcdef
选7中(6)
三等奖
abcdeXXbcdef
选7中(5)
四等奖
abcdXXXbcdeXXXcdef
选7中(4)
五等奖
abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef
选7中(3)
六等奖
abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef
选7中
(2)
②“乐透型”有多种不同的形式,比如“33选7”的方案:
先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号,再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。
投注者从01~33个号码中任选7个组成一注(不可重复),根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级,不考虑号码顺序。
又如“36选6+1”的方案,先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号,再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。
从01~36个号码中任选7个组成一注(不可重复),根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级,不考虑号码顺序。
这两种方案的中奖等级如表二。
表二
33选7(7/33)
36选6+1(6+1/36)
基本号码特别号码
●●●●●●●
选7中(7)
●●●●●●★
●●●●●●○★
●●●●●●
●●●●●●○
●●●●●○★
选7中(5+1)
●●●●●○○★
●●●●●○
●●●●●○○
●●●●○○★
选7中(4+1)
●●●●○○○★
●●●●○○
七等奖
●●●●○○○
●●●○○○★
选7中(3+1)
注:
●为选中的基本号码;
★为选中的特别号码;
○为未选中的号码。
以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%,投注者单注金额为2元,单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。
现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如附表一,其中一、二、三等奖为高项奖,后面的为低项奖。
低项奖数额固定,高项奖按比例分配,但一等奖单注保底金额60万元,封顶金额500万元,各高项奖额的计算方法为:
[(当期销售总额×
总奖金比例)-低项奖总额]×
单项奖比例
我们的任务是:
(1)这些方案的具体情况,综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。
(2)设计一种“更好”的方案及相应的算法,并据此给彩票管理部门提出建议。
(3)给报纸写一篇短文,供彩民参考。
二.问题分析
①奖项和奖金额设置。
高项奖为浮动奖,按比例分配,低项奖为固定奖,奖额固定
②中奖的概率。
给出一个方案,就可以计算出中各个奖项的概率。
③彩民的投注心理。
我们按照彩民投注的不同心理,将彩民划分为几类,分别考虑同一方案对不同彩民的影响。
将影响因素融入到一个评价函数中去,以此作为方案优劣的评定标准。
在实际中大都是连续多期开奖,这就要考虑保底基金的问题,我们针对此提出了奖池的概念。
为验证提出的标准的合理性,应该用销售实例检验提出的标准。
由算法调整方案的设置,给出一个更好的方案。
三.模型假设
假设彩票摇奖是公平公正的,各号码的出现是随机的,彩民购买彩票是随机的独立事件;
假设对同一方案中高级别奖项的奖金比例或奖金额不应低于相对低级别的奖金比例或奖金额;
根据我国的现行制度,假设我国居民的平均工作年限为T=35年。
假设每注彩票只兑付最高奖级奖金,不可兼得;
假设彩票的规则是以公平合理为原则;
假设彩票的发行费用不计,彩票总奖金比例一般为销售总金额的50%;
假设高项奖按事先设定的百分比分配,且按当期各奖级实际中奖注数平均分配该奖
奖金取决于当期彩票投注额的多少
假设彩民大都具有博彩心理。
符号说明:
吸引力向量,
为某方案对第
种彩民的吸引力值;
n/m表示彩票的玩法为m选n并含有特别号码;
为高项奖中第
等奖奖金额占高项奖总奖金额的比例;
为连续多期情况中第
期彩民总数。
四.模型的建立与求解
1.评价标准
从彩票部门的角度出发,一个摸彩方案的优劣应该取决于方案带来利润的多少,彩票部门所获利润在什么情况下会达到最大呢?
一般在保证总奖金比例不超过销售总额的50%的情况下,卖出的彩票越多越好,我们不妨取彩票总销售额期望值作为方案的评价标准:
如果总奖金比例超过销售总额的50%,那么这个方案就是不合理的,如果总奖金比例不超过销售总额的50%,那么在此前提下,彩票总销售额期望值越高,方案就越好。
彩票是一种带有博弈性质的游戏,彩民下注的多少取决于方案对他们的吸引力大小,而方案的吸引力又由中奖的概率和中奖金额共同决定,而且同样的方案对不同类型的彩民产生的吸引力是不一样的。
常见的奖项设置中有:
“传统型”有一种:
;
“乐透型”有三种:
。
根据奖项设置我们可以计算出彩民获各项奖的概率(见附表二,附表三),题给表中并未反映方案对彩民吸引力的影响,因此我们必须首先根据实际情况构造彩票的吸引力函数,作为联系方案与销售额的桥梁,由彩票吸引力转换到彩票的销售额期望值,这才是最终的评价标准。
2.评价函数
①彩民的分类
身边芸芸彩民,投注心态和选号方式五花八门,但总的说来可以归纳为:
第一种(疯狂型):
买彩票对他们来说是真正意义上的“赌博”,只有一个目的——中大奖!
因此下注时不仅选号谨慎,而且金额巨大,约占彩民总数的15%;
第二种(理智型):
他们购买任何一种彩票都要经过不断推敲筛选,下注的金额不一定很大,但中奖的机会却比其他几类彩民多,中的奖项比一般彩民高,偏重大奖,约占彩民总数的45%;
第三种(平庸型):
他们买彩票时既想中大奖,同时又认为中大奖的机会寥寥,还是中末奖机会大得多,因此只要有奖就行,每次下注的金额不大,约占彩民总数的20%;
第四种(奉献型):
他们购买彩票是为社会的福利事业或向中国体育的腾飞贡献一份力量,至于中奖与否倒不是要首先考虑的,因此他们的投注基本上没有太大波动,约占彩民总数的20%。
②评价函数的建立
我们先考虑某一期彩票销售情况。
•吸引力函数
如果彩民不分种类,各奖项奖金期望值之和即一个彩民投一注所获奖金期望值就能反映出方案的吸引力,但实际上方案变化所引起各种彩民的反映是不同的,根据以上分析,不同的彩民关心不同的奖项设置,因此应该在中第i等奖项的奖金期望值
上乘以这个奖项对第
种彩民的吸引力占总吸引力的权重
,然后在对所有奖项求和,如果方案中还给一等奖设立了保底金额
(=60万元),设它在第
种彩民的吸引力中所占的权重为
,再加上以此作为方案对第
种彩民的吸引力值
:
•第
种彩民的吸引力权值向量
根据前面关于彩民的分析确定如下:
只看头奖,
偏重于高项奖,就选用抛物线来拟合它,最低点表示第4等奖的吸引力:
图象形状大致如图一所示:
图一各奖项对理智型彩民的吸引力
设抛物线
,
=
偏重于低项奖,为简便起见,直接将上面的图象关于y轴翻转,同理解得:
综合数据确定
如下:
•销售额期望函数
各种奖项对第
类彩民的影响程度在第
类彩民的吸引力权值向量中已经得到体现,因此各种彩民的总销售额
关于吸引力值的函数可以直接取为线性函数,而奉献型彩民的投注为常数
,则所有彩民的总销售额期望值
•系数及常数
的确定;
我们从网上发布的大量开奖实例数据中得到:
高项奖金总额平均值约为
万,为确定这四个未知数我们选择了4种31选7方案的数据来定解,(为使参数更合理,我们扩大数据覆盖面,每个方案的数据均是由几组同方案数据平均得到的)数据如表三:
表三用来定解的方案
期数
n1
n2
n3
V4
V5
V6
V7
M
1
68.8%
12.2%
19%
500
50
20
10
5804741.27
2
60%
15%
25%
5909647.65
3
86.5%
5%
8.5%
5499837.04
4
80.1%
7.2%
12.7%
5585855.17
将数据代入<
1>
<
2>
两式,可以得到关于四个未知数的线性方程组:
易解得:
到此已经确定了目标函数的待定因子,给定一种方案,我们就能计算出总销售额期望值。
3.多期情况
某种方案的多期连续情况就要额外考虑一等奖的奖池问题。
如果给一等奖设立保底金额
,也就是建立了一等奖奖池(用来发一等奖奖金),奖池除了含根据本期销售额提取的一等奖奖金之外,还包含前期未中的浮动奖金,此外还要将保底资金拿出来准备投入一等奖奖池。
如果遇到大奖连续几期没有开出,奖池里累
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