小学数学竞赛第十一讲 乘方的初步知识Word格式.docx

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例1

（1）43表示4×

4×

4，读作4的三次方，（如果把43看作运算结果读作：

4的3次幂）也读作4的立方。

（2）156表示15×

15×

15，读作15的6次方或15的6次幂。

　　（3）a2表示a×

a，读作a的二次方或a的二次幂。

也读作a的平方。

　　2．相同乘数相乘的积用乘方表示

例2用乘方表示下面各题的积：

（1）6×

6×

6＝64

　　（3）a×

a×

a＝a3

　　3．根据乘方的意义计算出答案

例3计算

（1）94；

（2）115；

（3）06。

解：

（1）94＝9×

9×

9＝6561

（2）115表示15个1相乘，∴115＝1。

　　（3）06表示6个0相乘，∴06＝0。

　　注意：

底数是0的乘方等于0。

　　4．区别易混的概念

例4下面各对算中的两个算式是不是一样的？

为什么？

（1）83与8×

3；

（2）42与24；

　　（3）4×

52与（4×

5）2。

（1）83表示3个8相乘，83＝8×

8×

8＝512；

3表示3个8相加的简便算法，8×

3＝8＋8＋8＝24；

所以两个算式是不一样的。

（2）42表示2个4相乘的积。

即

　　42＝4×

4＝16

　　24表示4个2相乘的积。

　　24＝2×

2×

2＝16

　　应该注意的是42＝16，24＝16，计算结果是相同的，这仅仅是一个特例，并不是所有类似的乘方结果都是相同的。

25＝32，52＝25。

52表示一个乘数4和2个乘数5的连乘积，即4×

52

　　＝4×

5＝100。

　　（4×

5）2表示两个4乘以5的积相乘，即

5）2（4×

5）×

（4×

5）＝400，

　　所以两个算式是不一样的。

二、同底数幂的乘法法则

　　我们根据乘方所表示的意义，先讨论下面的例子。

　　一般地，可以得出同底数幂的乘法法则：

　　同底数幂相乘，原来的底数作底数，指数的和作指数。

用字母表示为：

　　am×

an＝am+n（m、n均为自然数）

例5计算：

（1）152×

153；

（2）32×

34×

38；

52×

53×

54×

…×

590

（1）原式＝152+3＝155

（2）原式＝32+4+8＝1514

　　（3）观察原式各乘数的指数1、2、3、4、…、90，为等差数列，故用等差数列求和公式计算较简便。

　　5×

　　三、同底数幂的除法法则

　　我们仍然根据乘方所表示的意义，看下面的例子。

　　一般地，可以得出同底数幂的除法法则：

　　同底数幂相除，原来的底数作底数，指数的差作指数。

　　am÷

an＝am－n（m、n为自然数，m＞n）

例6计算

（1）128÷

125；

（2）453÷

45；

　　（3）257÷

257。

（1）原式＝128－5＝123

（2）原式＝453－1＝452

　　（3）直接按除法做，显然会得到

　　257÷

257＝1

四、幂的乘方法则

　　am又叫做幂，如果把am看作是底数，那么它的n次方就可以表示为（am）n。

这就叫做幂的乘方。

幂的乘方怎样计算呢？

我们先来计算（a3）4。

　　把a3看作是底数，根据乘方的意义和同底数的幂的乘法法则可以得出：

　　（a3）4＝a3×

a3×

a3＝a3＋3＋3＋3＝a3×

4＝a12

　　即：

（a3）4＝a3×

4

　　同样，（a2）5＝a2×

a2×

a2＝a2＋2＋2＋2＋2＝a2×

5＝a10

（a2）5＝a2×

　　由以上例子可以概括出，幂的乘方，底数不变，指数相乘。

　　（am）n＝am×

n

例7计算：

（1）（103）5；

（2）（x4）2；

　　（3）（a2）4×

（a3）5。

（1）原式＝103×

5＝1015

（2）原式＝x4×

2＝x8

　　（3）原式＝a2×

5＝a8×

a15＝a＝a23

六、平方差公式

　　已知两个数a和b，这两个数的和乘以这两个数的差可以写成：

　　（a＋b）×

（a－b）

　　我们把a＋b看成一个数，利用乘法分配律可以按以下顺序进行计算。

（a－b）＝［（a＋b）×

a］－［（a＋b）×

b］

　　＝a2＋ab－ab－b2＝a2－b2

　　由此可知：

两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方的差。

（a－b）＝a2－b2

　　这个公式叫做平方差公式。

利用这个公式，可以使一些计算变得简便。

例8用简便方法计算104×

96。

原式＝（100＋4）×

（100－4）＝1002－42

　　＝10000－16＝9984

七、完全平方公式

　　两个数和的平方怎样计算呢？

两个数的和表示为a＋b，这两个数和的平方则表示为；

（a＋b）2。

根据乘方的意义

　　（a＋b）2＝（a＋b）×

（a＋b）

　　＝［（a＋b）×

a］＋［（a＋b）×

　　＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2

　　同样，两个数差的平方可推导如下：

　　（a－b）2＝（a－b）×

　　＝［（a－b）×

a］［（a－b）×

　　＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2

　　也就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方的和加上（或者减去）它们的积的2倍。

　　（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

　　（a－b）2＝a2－2ab＋b2

　　上面这两个公式叫做完全平方公式。

应用完全平方公式，可以使一些乘方计算变得简便。

例9计算下面各题：

（1）1052；

（2）1962。

（1）原式＝（100＋5）2＝1002＋2×

100×

5＋52

　　＝10000＋1000＋25

　　＝11025

（2）原式＝（200－4）2＝2002－2×

200×

4＋42

　　＝40000－1600＋16＝38400＋16

　　＝38416

例10计算下面各题：

（1）422；

（2）542；

　　（3）982；

　　（4）9932；

　　（5）10022。

（1）原式＝（40＋2）2＝402＋2×

40×

2＋22

　　＝1600＋160＋4

　　＝1764

（2）原式＝（50＋4）2＝502＋2×

50×

　　＝2500＋400＋16＝2916

　　或原式＝（60－6）2＝602－2×

60×

6＋62

　　＝3600－720＋36

　　＝2916

　　（3）原式＝（90＋8）2＝902＋2×

90×

8＋82

　　＝8100＋1440＋64

　　＝9604

　　或原式＝（100－2）2＝1002－2×

　　＝10000－400＋4＝9604

　　（4）原式＝（1000－7）2＝10002－2×

1000×

7＋72

　　＝1000000－14000＋49＝986049

　　（5）原式＝（1000＋2）2＝10002＋2×

　　＝1000000＋4000＋4＝1004004

　　由以上例题可以看出，有些题的解法不只一种，故应选用较简单的方法进行计算。

八、平方数的速算

　　有些较特殊的数的平方，掌握规律后，可以使计算速度加快，现介绍如下。

　　1．求由n个1组成的数的平方

　　我们观察下面的例子。

　　由以上例子可以看出这样一个规律；

求由n个1组成的数的平方，先由1写到n，再由n写到1，即：

其中n只占一个数位，满10应向前进位，当然，这样的速算不宜位数过多。

例11计算

原式＝12345678987654321

　　2．由n个3组成的数的平方

　　我们仍观察具体实例：

由n个3组成的数的平方，等于在n－1个1的后面写一个0，再写n－1个8，再写一个9。

即：

例12计算33332。

原式＝11108889

　　3．个位数字是5的数的平方

　　把a看作10的个数，这样个位数字是5的数的平方可以写成；

（10a＋5）2的形式。

根据完全平方式推导；

　　（10a＋5）2＝（10a）2＋2×

10a×

　　＝100a2＋100a＋25

　　＝100a×

（a＋1）＋25

　　＝a×

（a＋1）×

100＋25

个位数字是5的数的平方，等于去掉个位数字后，所得的数与比这个数大1的数相乘的积，后面再写上25。

例13计算

（1）452；

（2）1152。

（1）原式＝4×

（4＋1）×

　　＝2000＋25＝2025

（2）原式＝11×

（11＋1）×

　　＝11×

12×

　　＝13200＋25

　　＝13225

　　4．同指数幂的乘法

　　a2×

b2是同指数的幂相乘，可以写成下面形式：

b2＝a×

b×

b＝（a×

b）×

（a×

b）＝（a×

b）2

同指数幂的乘法，等于底数的乘积做底数，指数不变。

根据这个法则可以使计算简便。

　　22×

52＝（2×

5）2＝102＝100

　　23×

53＝（2×

5）3＝103＝1000

　　24×

54＝（2×

5）4＝104＝10000

　　根据上面算式，可以得出这样一个结论：

例14计算：

（1）26×

56；

（2）510×

210。

（1）原式＝1000000

（2）原式＝10000000000