高中数学最新导数与函数的单调性教案 精品Word格式.docx

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根据导数与函数单调性的关系,在函数定义域的某个区间（a,b）内求函数单调区间的一般步骤:

（1）确定函数f（x）的定义域.

（2）求导数f'

（x）.

（3）解不等式f'

（x）>

0或f'

（x）<

0,如果f'

0,那么函数y=f（x）在这个区间内单调递　　　　;

如果f'

0,那么函数y=f（x）在这个区间内单调递　　　　. 

（4）写单调区间.

1.下列函数在（0,+∞）上是增函数的是（　　）.

A.y=-x2B.y=-xC.y=x2-xD.y=x2

2.函数y=2-3x2在区间（-1,1）上的增减情况为（　　）.

A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增

3.如果函数f（x）=x2+2（a-1）x+2在区间（-∞,4]上是减函数,那么a的取值范围是　　　　　. 

4.求函数y=x2-x的单调区间.

求函数的单调性与其导函数正负的关系

观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.

利用导数求函数的单调区间

已知函数f（x）=ex-ax-1,求f（x）的单调增区间.

利用函数单调性求参数的范围

已知函数y=x2+

在[1,+∞）上单调递增,求实数a的取值范围.

已知函数f（x）的导函数f'

（x）=ax2+bx+c的图像如下图所示,则函数f（x）的图像可能是（　　）.

判断下列函数的单调性,并求出单调区间.

（1）f（x）=sinx-x,x∈（0,π）;

（2）f（x）=2x3+3x2-24x+1.

已知函数f（x）=lnx+x2+ax在定义域内为增函数,求实数a的取值范围.

1.函数y=f（x）是定义在R上的可导函数,则“y=f（x）是R上的增函数”是“f'

0”的（　　）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是（　　）.

A.（

+∞）B.（-∞,

）C.[

+∞）D.（-∞,

]

3.函数y=x-lnx的单调递减区间是　　　　. 

4.若函数y=x3+bx有三个单调区间,求实数b的取值范围.

　　（2013年·

浙江卷）已知函数y=f（x）的图像是下列四个图像之一,且其导函数y=f'

（x）的图像如右图所示,则该函数的图像是（　　）.

　　考题变式（我来改编）:

第四章　导数应用

知识体系梳理

单调增函数　单调减函数

单调性　单调区间

图像法　定义法　相同　相反　横

（3）增　减

基础学习交流

1.D　作出函数图像,观察图像可以得出函数y=x2在（0,+∞）上是增函数.

2.C　作出函数图像,观察图像可以得出函数y=2-3x2在区间（-1,1）上先增后减.也可通过导数研究,对于函数y=2-3x2,y'

=-6x,故当x∈（-1,0）时,y'

>

0,函数递增;

当x∈（0,1）时,y'

<

0,函数递减.

3.（-∞,-3]　已知函数的图像为开口向上的抛物线,对称轴为x=1-a,若在区间（-∞,4]上是减函数,则1-a≥4,故a≤-3.

4.解:

作出函数图像,观察图像可以得出函数在[

+∞）上是增函数,在（-∞,

）上是减函数,所以函数y=x2-x的单调递增区间为[

+∞）,单调递减区间为（-∞,

）.

也可通过导数研究,对于函数y=x2-x,y'

=2x-1,当x∈[

+∞）时,y'

0,是增函数;

当x∈（-∞,

）时,y'

0,是减函数.

所以,函数y=x2-x的单调递增区间为[

）.

重点难点探究

探究一:

【解析】

（1）函数y=x的定义域为R,并且在定义域上是增函数,其导数y'

=1>

0.

（2）函数y=x2的定义域为R,在（-∞,0）上单调递减,在（0,+∞）上单调递增.

而y'

=2x,当x<

0时,其导数y'

0;

当x>

当x=0时,其导数y'

=0.

（3）函数y=x3的定义域为R,在定义域上为增函数.

=3x2,若x≠0,则其导数3x2>

0,当x=0时,其导数3x2=0.

（4）函数y=

的定义域为（-∞,0）∪（0,+∞）,在（-∞,0）上单调递减,在（0,+∞）上单调递减,而y'

=-

因为x≠0,所以y'

【小结】函数的单调性与导数的关系:

在定义域的某个区间（a,b）内,如果f'

0,那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增;

0,那么函数y=f（x）在这个区间内单调递减;

如果在某个区间（a,b）内f'

（x）=0恒成立,那么函数y=f（x）在这个区间内是常数函数.

　　探究二:

【解析】∵f（x）=ex-ax-1,∴f'

（x）=ex-a.

令f'

（x）≥0,得ex≥a,　　

当a≤0时,有f'

0在R上恒成立;

当a>

0时,有x≥lna.

综上,当a≤0时,f（x）的单调增区间为（-∞,+∞）;

0时,f（x）的单调增区间为[lna,+∞）.

【小结】本题解题关键是导数与函数单调性的关系,同时要注意在定义域内讨论函数的单调性.

　　探究三:

【解析】y'

=2x-

=

.

∵函数y=x2+

在[1,+∞）上为增函数.

∴

0,x∈[1,+∞）,

即2x3-a>

0,a<

2x3.

即要使a<

2x3在x∈[1,+∞）上恒成立.

而函数g（x）=2x3在[1,+∞）上单调递增,

∴g（x）min=g

（1）=2,∴a<

2.

又当a=2时,y'

对x∈[1,+∞）,也有f'

∴当a=2时,y=x2+

在[1,+∞）上也是增函数.

综上所述,函数y=x2+

在[1,+∞）上单调递增时,实数a的取值范围是a≤2.

【小结】本题已知函数的单调性,求参数的取值范围,这是一种非常重要的题型,但要注意f'

0（或f'

0）是函数f（x）为增函数（或减函数）的充分而不必要条件.例如我们熟悉的函数y=x3在R上为增函数,但y'

=3x2≥0,所以函数单调也有可能y'

=0,因此对于等号能否取得要单独验证.

思维拓展应用

应用一:

D　由导函数图像可知当x<

0时,f'

0,函数f（x）递减,排除A、B.又当x=0时,f'

（0）=0,所以选D.

　　应用二:

（1）因为f（x）=sinx-x,x∈（0,π）,f'

（x）=cosx-1<

0,所以,函数f（x）=sinx-x在（0,π）上是减函数,递减区间为（0,π）.

（2）因为f（x）=2x3+3x2-24x+1,所以f'

（x）=6x2+6x-24.

当f'

0,即x<

-

或x>

时,函数f（x）=2x3+3x2-24x+1是增函数;

0,即-

x<

时,函数f（x）=2x3+3x2-24x+1是减函数.

递增区间为（-∞,-

）和（

+∞）,递减区间为（-

　　应用三:

（法一）分离参数法:

由题意转化为f'

（x）≥0在x∈（0,+∞）上恒成立,

因为f'

（x）=

+2x+a=

所以

≥0在x∈（0,+∞）上恒成立,

即2x2+ax+1≥0在x∈（0,+∞）上恒成立,

即a≥[-（2x+

）]max.

因为x∈（0,+∞）,

所以2x+

≥2

当且仅当x=

时取等号.

因此-（2x+

）取最大值-2

则a≥-2

.　

所以a的取值范围为[-2

+∞）.

（法二）二次函数法:

即g（x）=2x2+ax+1,其开口向上,恒过定点（0,1）.

则Δ≤0或-

≤0,解得a≥-2

基础智能检测

1.B　函数y=x3,当x=0时,f'

（0）=0,但y=x3是R上的增函数,故选B.

2.C　由已知函数是R上的单调函数,可得y'

=3x2+2x+m≥0恒成立,判别式Δ=4-12m≤0,解得m≥

故选C.

3.（0,1）　定义域是（0,+∞）,由y'

=1-

0及定义域得0<

1,单调递减区间是（0,1）.

因为已知函数有三个单调区间,所以y'

=3x2+b=0有两个不同的实数根,即3x2=-b有两个不同的实数根,得b<

0,所以实数b的取值范围是（-∞,0）.

全新视角拓展

B　f'

（x）在（-1,1）上由小到大,再由大到小,且均是正数,因此函数图像切线的斜率大于0,且在（-1,1）上由小到大,再由大到小,符合条件的函数为B.