高中数学北师大版选修21模块综合检测b 含答案Word下载.docx
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4.已知△ABC的顶点B、C在椭圆
+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是( )
A.2
B.6
C.4
D.12
5.过点(2,-2)与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线的双曲线方程为( )
A.
=1B.
=1
C.
=1D.
6.已知a=(cosα,1,sinα),b=(sinα,1,cosα),则向量a+b与a-b的夹角是( )
A.90°
B.60°
C.30°
D.0°
7.已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1的中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )
B.
C.
D.
8.已知椭圆x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为( )
A.3
B.2
9.命题p:
关于x的不等式(x-2)
≥0的解集为{x|x≥2},命题q:
若函数y=kx2-kx-1的值恒小于0,则-4<
k≤0,那么不正确的是( )
A.“綈p”为假命题B.“綈q”为假命题
C.“p或q”为真命题D.“p且q”为假命题
10.
如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )
题 号
1
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11.已知向量a与b的夹角为120°
,且|a|=|b|=4,那么b·
(2a+b)的值为________.
12.已知双曲线x2-
=1,那么它的焦点到渐近线的距离为________.
13.设双曲线
=1(a>
0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该双曲线的离心率=__________________________________________________________________.
14.给出如下三种说法:
①四个实数a,b,c,d依次成等比数列的必要而不充分条件是ad=bc;
②命题“若x≥3且y≥2,则x-y≥1”为假命题;
③若p且q为假命题,则p,q均为假命题.
其中正确说法的序号为________.
15.双曲线
0)的两个焦点为F1、F2,若P为双曲线上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为________.
三、解答题(本大题共6小题,共75分)
16.(12分)已知命题p:
方程2x2-2
x+3=0的两根都是实数,q:
x+3=0的两根不相等,试写出由这组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题,并指出其真假.17.(12分)F1,F2是椭圆的两个焦点,Q是椭圆上任意一点,从任一焦点向△F1QF2中的∠F1QF2的外角平分线引垂线,垂足为P,求点P的轨迹.
18.(12分)若r(x):
sinx+cosx>
m,s(x):
x2+mx+1>
0.已知任意x∈R,r(x)为假命题且s(x)为真命题,求实数m的取值范围.19.(12分)已知椭圆
+
b>
0)的一个顶点为A(0,1),离心率为
,过点B(0,-2)及左焦点F1的直线交椭圆于C,D两点,右焦点设为F2.
(1)求椭圆的方程;
(2)求△CDF2的面积.
20.(13分)已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,M,N分别为AB,PC的三等分点,且PN=2NC,AM=2MB,PA=AB=1,求
的坐标.21.(14分)
如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=1,AC=AA1=
,∠ABC=60°
.
(1)证明:
AB⊥A1C;
(2)求二面角A—A1C—B的正切值大小.模块综合检测(B)
1.D [綈p:
存在x∈R,2x2+1≤0.]
2.A [因为|a|>
0⇔a>
0或a<
0,所以a>
0⇒|a|>
0,但|a|>
a>
0是|a|>
0的充分不必要条件.]
3.C [由题意,以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两个点,故
>
a,∴
>
2.]
4.C [设椭圆的另一焦点为F,由椭圆的定义知
|BA|+|BF|=2
,且|CF|+|AC|=2
,
所以△ABC的周长=|BA|+|BC|+|AC|
=|BA|+|BF|+|CF|+|AC|=4
.]
5.D [与双曲线
-y2=1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为
-y2=λ,
由过点(2,-2),可解得λ=-2.
所以所求的双曲线方程为
=1.]
6.A [(a+b)·
(a-b)=|a|2-|b|2
=(cos2α+1+sin2α)-(sin2α+1+cos2α)=0,
∴a+b与a-b的夹角为90°
7.C [
以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴和z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=1,则AA1=2,依题设有B(1,1,0),C(0,1,0),
D1(0,0,2),E(1,0,1),
∴
=(0,-1,1),
=(0,-1,2).
∴cos〈
·
〉=
=
8.C [令直线l与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2),
则
①-②得:
(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0,即2(x1-x2)+4(y1-y2)=0,
∴kl=-
,∴l的方程:
x+2y-3=0,
由
,得6y2-12y+5=0.
∴y1+y2=2,y1y2=
∴|AB|=
9.D
10.D [
以D点为坐标原点,以DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,1).
=(-2,0,1),
=(-2,2,0),且
为平面BB1D1D的一个法向量.
.∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为
11.0
12.
解析 焦点(±
2,0),渐近线:
y=±
x,
焦点到渐近线的距离为
13.
解析 双曲线
=1的渐近线方程为y=±
x,因为y=x2+1与渐近线相切,故x2+1±
x=0只有一个实根,∴
-4=0,∴
=4,∴
=5,∴e=
14.①②
解析 对①a,b,c,d成等比数列,则ad=bc,反之不一定.故①正确;
对②,令x=5,y=6,则x-y=-1,所以该命题为假命题,故②正确;
对③,p且q假时,p,q至少有一个为假命题,故③错误.
15.(1,3]
解析 设|PF2|=m,则2a=||PF1|-|PF2||=m,
2c=|F1F2|≤|PF1|+|PF2|=3m.
∴e=
≤3,又e>
1,
∴离心率的取值范围为(1,3].
16.解 “p或q”的形式:
x+3=0的两根都是实数或不相等.
“p且q”的形式:
x+3=0的两根都是实数且不相等.
“非p”的形式:
x+3=0的两根不都是实数.
∵Δ=24-24=0,∴方程有两相等的实根.
∴p真,q假.∴“p或q”真,“p且q”假,“非p”假.
17.解
设椭圆的方程为
0),F1,F2是它的两个焦点,Q为椭圆上任意一点,QP是△F1QF2中的∠F1QF2的外角平分线(如图),
过F2作F2P⊥QP于P并延长交F1Q的延长线于H,
则P是F2H的中点,且|F2Q|=|QH|,
因此|PO|=
|F1H|=
(|F1Q|+|QH|)
(|F1Q|+|F2Q|)=a,
∴点P的轨迹是以原点为圆心,以椭圆长半轴长为半径的圆(除掉两点即椭圆与x轴的交点).
18.解 由于sinx+cosx=
sin
∈[-
],任意x∈R,r(x)为假命题即sinx+cosx>
m恒不成立.∴m≥
.①
又对任意x∈R,s(x)为真命题.
∴x2+mx+1>
0对x∈R恒成立.
则Δ=m2-4<
0,即-2<
m<
2.②
故任意x∈R,r(x)为假命题,且s(x)为真命题,应有
≤m<
2.
19.解
(1)易得椭圆方程为
+y2=1.
(2)∵F1(-1,0),
∴直线BF1的方程为y=-2x-2,
得9x2+16x+6=0.
∵Δ=162-4×
9×
6=40>
0,
所以直线与椭圆有两个公共点,
设为C(x1,y1),D(x2,y2),
∴|CD|=
|x1-x2|
又点F2到直线BF1的距离d=
故S△CDF2=
|CD|·
d=
20.解 方法一
∵PA=AB=AD=1,且PA⊥面ABCD,AD⊥AB,∴可设
=i,
=j,
=k,以{i,j,k}为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.
∵
=-
(-
)
k+
i+
k.
方法二 设
=k,以{i,j,k}为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,过M作AD的平行线交CD于点E.可知NE∥PD.
(
)=-i+
(i+k)
k,
21.
(1)证明 ∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱
∴AB⊥AA1.
在△ABC中,AB=1,AC=
由正弦定理得∠ACB=30°
∴∠BAC=90°
,即AB⊥AC,
如图,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,
,0),A1(0,0,
),
=(1,0,0),
=(0,
,-
=1×
0+0×
+0×
(-
)=0,
∴AB⊥A1C.
(2)解 如图,可取m=
=(1,0,0)为平面AA1C的法向量,设平面A1BC的法向量为n=(l,m,n).
n=0,
n=0,又
=(-1,
,0),
∴l=
m,n=m.
不妨取m=1,则n=(
,1,1).
cos〈m,n〉=
设二面角A—A1C—B的大小为θ,
∴cosθ=cos〈m,n〉=
,sinθ=
从而tanθ=
,即二面角A—A1C—B的正切值为
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