学年高中数学竞赛 第07讲 函数的性质与图象新教案docWord文档下载推荐.docx
- 文档编号:13243637
- 上传时间:2022-10-08
- 格式:DOCX
- 页数:25
- 大小:264.85KB
学年高中数学竞赛 第07讲 函数的性质与图象新教案docWord文档下载推荐.docx
《学年高中数学竞赛 第07讲 函数的性质与图象新教案docWord文档下载推荐.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《学年高中数学竞赛 第07讲 函数的性质与图象新教案docWord文档下载推荐.docx(25页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
解因为函数f(x)是以T=2为周期的周期函数,所以f(x+2)=f(x)。
当x∈[-2,-1]时,x+4∈[2,3],于是f(x+4)=x+4,
则f(x)=f(x+4)=x+4。
当x∈[0,1]时,x+2∈[2,3],于是f(x+2)=x+2,
则f(x)=f(x+2)=x+2。
又由于f(x)为偶函数,故f(-x)=f(x)。
当x∈[-1,0)时,-x∈(0,1],则f(x)=f(-x)=-x+2。
所以f(x)=
=3-|x+1|(x∈[-2,0])。
说明本题是根据周期函数和偶函数得性质来求解的。
本题还可以画出函数的图象来解。
例3设函数f0(x)=|x|,f1(x)=|f0(x)-1|,f2(x)=|f1(x)-2|,求函数y=f2(x)的图象与x轴所围成图形中的封闭部分的面积.
(1989年全国联赛一试)
解图1是函数f0(x)=|x|的图形,把此图形向下平行移动1个单位就得到函数f0(x)=|x|-1的图形,作该图形的在x轴下方的部分关于x轴的对称图形得出图2,其中在x轴上方的部分即是f1(x)=|f0(x)–1|的图象,再把该图象向下平行移动2个单位得到f0(x)=|x|-2的图象,作该图象在x轴下方的部分关于x轴的对称图形得到图3,其中x轴上方的部分即是f2(x)=|f1(x)–2|的图象。
易得所求面积为7。
情景再现
1.函数f(x)=
-
()
A.是偶函数但不是奇函数B.是奇函数但不是偶函数
C.既是奇函数也是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数
(2002年全国联赛一试)
2.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若f(2a2+a+1)<f(3a2-4a+1)成立,则a的取值范围是。
(2005年全国联赛一试)
3.若f(x)(x∈R)是以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x
,则f(
),f(
)由小到大排列是.
(1998年全国联赛一试)
B类例题
例4设x,y为实数,且满足
求x+y的值。
(1997年全国联赛一试)
分析由方程组可以观察到x-1、1-y是方程t3+1997t+1=0的根。
原方程组即
取f(t)=t3+1997t+1,则f'
(t)=3t2+1997>
0,故f(t)是单调增函数,
所以方程t3+1997t+1=0至多只有一个实数解,
所以x-1=1-y,即x+y=2.
例5设曲线C的方程是
将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1。
(1)写出曲线C1的方程;
(2)证明曲线C与C1关于点
对称;
(3)如果C与C1有且仅有一个公共点,证明
。
(1998年全国高考题)
分析第
(1)小题直接由函数图象平移性质可得;
第
(2)小题“证明曲线C与C1关于点
对称”应转化为证明“设B1(x1,y1)为C上任意一点,证明点(t-x1,s-y1)必在曲线C1上”,反之亦然;
第(3)小题即为两曲线方程构成的方程组有且仅有一组解。
(1)解曲线C1的方程为
(2)证明在曲线C上任取一点B1(x1,y1)。
设B2(x2,y2)是B1关于点A的对称点,则有
代入曲线C的方程,得
,
,故点B2的坐标满足C1的方程,
可知点B2(x2,y2)在曲线C1上。
反过来,也可以证明,在曲线C1上的点关于点A对称点在曲线C上。
因此,曲线C与C1关于点A对称。
(3)证明因为曲线C与C1有且仅有一个公共点,所以方程组
有且仅有一组解。
消去y,整理得
这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根。
所以
并且其根的判别式
说明在证明不同的两条曲线C1和C2关于点(或线)对称时,必须证明C1上任意一点的对称点在C2上,且C2上任意一点的对称点在C1上,即正反两个方面都要证明。
而在证明一条曲线关于点(或线)对称时,只要在该曲线上任取一点,证明此点的对称点仍在曲线上即可。
例6函数f定义在实数集上,且对一切实数x满足等式
和
设x=0是f(x)=0的一个根,记f(x)=0在区间[-1000,1000]中的根的个数为N。
求N的最小值。
(1984年美国数学邀请赛)
解由题意知,函数f(x)的图象关于直线
对称,
于是f(x)=0在(0,10]上至少有两个根。
另一方面,由
可得
,即
从而知函数
是以
为周期的周期函数,
因此f(x)=0在区间[-1000,1000]中的根的个数至少有200×
2+1=401个根。
如图可以构造出一个“锯齿形”的函数
,满足上述所有条件,且方程f(x)=0在区间[-1000,1000]上有401个根,除此以外不再有其他的根。
因此,所求N的最小值为401。
链接设函数的定义域D。
若对于任意的
,都有
(a是一个常数),即函数
为偶函数时,函数
的图象关于直线
为奇函数时,函数
的图象关于点(a,0)对称。
若函数
与
的奇偶性相同时,则函数
为周期的周期函数;
的奇偶性相异时,则函数
为周期的周期函数。
请读者尝试证明。
例7已知函数f(x)定义在R上且对一切实数x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0。
(1)求证f(0)=1,且f(x)是偶函数;
(2)若存在常数c,使
①求证对于任意x∈R,有f(x+c)=-f(x)成立;
②试问函数f(x)是否是周期函数,若是,求出它的一个周期。
解
(1)令x=y=0,则f(0)+f(0)=2f(0)f(0),因为f(0)≠0,所以f(0)=1;
任取y∈R,令x=0,则f(y)+f(-y)=2f(0)f(y),所以f(-y)=f(y),即函数f(x)是偶函数。
(2)①令x=a+
,y=
,则f(a+c)+f(a)=0,
即f(x+c)=-f(x)成立。
②因为f(x+2c)=-f(x+c)=f(x)所以函数f(x)是周期函数,它的一个周期T=2c。
例8设函数f(x)在[0,1]上有定义,f(0)=f
(1).如果对于任意不同的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<
|x1-x2|.求证:
|f(x1)-f(x2)|<
.
(1983年全国高中数学联赛二试)
分析把条件|f(x1)-f(x2)|<
|x1-x2|与结论|f(x1)-f(x2)|<
对照,把|x1-x2|与
联系比较。
证明不妨取0≤x1<
x2≤1。
若|x1-x2|≤
,则必有|f(x1)-f(x2)|<
|x1-x2|<
若|x1-x2|>
,则x2-x1>
,于是1-(x2-x1)<
即1-x2+x1-0<
.
|f(x1)-f(x2)|=|(f(x1)-f(0))-(f(x2)-f
(1))|≤|f(x1)-f(0)|+|f
(1)-f(x2)|<
|x1-0|+|1-x2|=1-x2+x1-0<
综上可知,|f(x1)-f(x2)|<
成立。
4.已知函数f(x)是R上的奇函数,g(x)是R上的偶函数,若
,则
A.
B.
C.
D.
(2004年湖南数学竞赛)
5.函数
的图象为
,而
关于直线
对称的图象为
,将
向左平移1个单后得到的图象为
所对应的函数为()
(2005年湖南数学竞赛)
6.设f(x)是定义在实数集R上的函数,且满足下列关系f(10+x)=f(10-x),f(20-x)=-f(20+x),则f(x)是()
A.偶函数,又是周期函数B.偶函数,但不是周期函数
C.奇函数,又是周期函数D.奇函数,但不是周期函数
(1992年全国联赛一试)
7.已知f(x)是定义在R上的增函数.设F(x)=f(x)–f(a–x
(1)用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数;
(2)证明函数y=F(x)的图象关于点
为中心对称.
C类例题
例9设k∈N,若存在函数f:
N→N是严格递增的,且对于每个n∈N,都有f[f(n)]=kn,
求证:
对每个n∈N,都有
(1990第五届冬令营选拔赛)
证明先证后一半,即证明2f(n)≤kn+n=f[f(n)]+n,
把这个式子改写为f(n)-n≤f[f(n)]-f(n).⑴
1︒f(n)≥n,这是因为f(n)是自然数,且函数f:
N→N是严格递增的,即f
(1)<
f
(2)<
f(3)<
…<
f(n).
2︒若m>
n,则f(m)-f(n)≥m-n,
这是因为若m>
n,设m=n+p,(p∈N),则
f(m)=f(n+p)≥f(n+p-1)+1≥f(n+p-2)+2≥…≥f(n)+p,
即f(m)-f(n)≥p=m-n.⑵
在⑵式中取m=f(n)即得⑴式.
于是
成立.
再证前一半,即证明
,即证2f[f(n)]≤(k+1)f(n),
即证f[f(n)]≤
f(n).这只要在⑴式中以f(n)代n即可得证.
所以对每个n∈N,都有
例10设f是一个从实数集R映射到自身的函数,并且对任何x∈R均有
,以及
证明:
函数
是周期函数(即存在一个非零实数c,使得对任何x∈R,f(x+c)=f(x)成立)。
(1996年第三十七届IMO预选题)
分析观察所给的条件等式,由于
,注意到
即为
,如此进行下去,……。
证明因为对任何x∈R,有
故
=…
即
(1)
同样,有
则
(2)
由
(1)、
(2)得
=…=
因此,
对所有
又对任何x∈R均有
有界,故只有
是周期函数。
说明这是一道融函数周期性和有界性于一体的例子。
首先必须对条件等式
作深入的探讨,如
,由此导出“等距”式,如
等,这就易导出
的
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 学年高中数学竞赛 第07讲 函数的性质与图象新教案doc 学年 高中数学 竞赛 07 函数 性质 图象 教案 doc