新高中数学第二讲直线与圆的位置关系知识归纳与达标验收创新应用教学案新人教A版选修41Word格式.docx
- 文档编号:13240875
- 上传时间:2022-10-08
- 格式:DOCX
- 页数:21
- 大小:166.59KB
新高中数学第二讲直线与圆的位置关系知识归纳与达标验收创新应用教学案新人教A版选修41Word格式.docx
《新高中数学第二讲直线与圆的位置关系知识归纳与达标验收创新应用教学案新人教A版选修41Word格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《新高中数学第二讲直线与圆的位置关系知识归纳与达标验收创新应用教学案新人教A版选修41Word格式.docx(21页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
=
因此BE=EC.
(2)由切割线定理得PA2=PB·
PC.
因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB.
由相交弦定理得AD·
DE=BD·
D
C,
所以AD·
3.(新课标全国卷Ⅱ)如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·
AE=DC·
AF,B,E,F,C四点共圆.
(1)证明:
CA是△ABC外接圆的直径;
(2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.
解:
因为CD为△ABC外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知
,
故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.
因为B,E,F,C四点共圆,所以∠CFE=∠DBC,
故∠EFA=∠CFE=90°
所以∠CBA=90°
,因此CA是△ABC外接圆的直径.
(2)连接CE,因为∠CBE=90°
所以
过B,E,F,C四点的圆的直径为CE.
由BD=BE,有CE=DC.
又BC2=DB·
BA=2DB2,
CA2=4DB2+BC2=6DB2.
而DC2=DB·
DA=3DB2,
故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为
圆内接四边形的判定与性质
圆内接四边形是中学教学的主要研究问题之一,近几年各地的高考选做题中常涉及圆内接四边形的判定和性质.
[例1] 已知四边形ABCD为平行四边形,过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、F.
求证:
C、D、E、F四点共圆.
[证明] 连接EF,
因为四边形ABCD为平行四边形,
所以∠B+∠C=180°
因为四边形ABFE内接于圆,
所以∠B+∠AEF=180°
所以∠AEF=∠C.
所以C、D、E、F四点共圆.
[例2] 如图,ABCD是⊙O的内接四边形,延长BC到E,已知∠BCD∶∠ECD=3∶2,那么∠BOD等于( )
A.120°
B.136°
C.144°
D.150°
[解析] 由圆内接四边形性质知∠A=∠DCE,
而∠BCD∶∠ECD=3∶2,
且∠BCD+∠ECD=180°
,∠ECD=72°
又由圆周角定理知∠BOD=2∠A=144°
[答案] C
直线与圆相切
直线与圆有三种位置关系,即相交、相切、相离;
其中直线与圆相切的位置关系非常重要,结合此知识点所设计的有关切线的判定与性质、弦切角的性质等问题是高考选做题热点之一,解题时要特别注意.
[例3] 如图,⊙O是Rt△ABC
的外接圆,∠ABC=90°
,点P是圆外一点,PA切⊙O于点A,且PA=PB.
(1)求证:
PB是⊙O的切线;
(2)已知PA=
,BC=1,求⊙O的半径.
[解]
(1)证明:
如图,连接OB.
∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.
∵PA=PB,∴∠PAB=∠PBA.
∴∠OAB+∠PAB=
∠OBA+∠PBA,
即∠PAO=∠PBO.
又∵PA是⊙O的切线,∴∠PAO=90°
∴∠PBO=90°
.∴OB⊥PB.
又OB是⊙O半径,∴PB是⊙O的切线.
(2)连接OP,交AB于点D.如图.
∵PA=PB,∴点P在线段AB的垂直平分线上.
∵OA=OB,∴点O在线段AB的垂直平分线上.
∴OP垂直平分线段AB.
∴∠PAO=∠PDA=90°
又∵∠APO=∠OPA,∴△APO∽△DPA.
∴
.∴AP2=PO·
DP.
又∵OD=
BC=
,∴PO(PO-OD)=AP2.
即PO2-
PO=(
)2,解得PO=2.
在Rt△APO中,OA=
=1,
即⊙O的半径为1.
与圆有关的比例线段
圆的切线、割线、相交弦可以构成许多相似三角形,结合相似三角形的性质,又可以得到一些比例式、乘积式,在解题中,多联系这些知识,能够计算或证明角、线段的有关结论.
[例4] 如图,A,B是两圆的交点,AC是小圆的直径,D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点,已知AC=4,BE=10,且BC=AD,求DE的长.
[解] 设CB=AD=x,则由割线定理得:
CA·
CD=CB·
CE,
即4(4+x)=x(x+10),
化简得x2+6x-16=0,
解得x=2或x=-8(舍去),
即CD=6,CE=12.
连接AB,因为CA为小圆的直径,
所以∠CBA=90°
,即∠ABE=90°
则由圆的内接四边形对角互补,得∠D=90°
则CD2+DE2=CE2,
所以62+DE2=122,
所以DE=6
[例5] △ABC中,AB=AC,以AB为直径作圆,交BC于D,O是圆心,DM是⊙O的切线交AC于M(如图).
DC2=AC·
CM.
[证明] 连接AD、OD.
∵AB是直径,∴AD⊥BC.
∵OA=OD,
∴∠BAD=∠ODA.
又AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠CAD.
则∠CAD=∠ODA,OD∥AC.
∵DM是⊙O切线,∴OD⊥DM.
则DM⊥AC,DC2=AC·
[对应学生用书P43]
(时间:
90分钟,满分:
120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.圆内接四边形的4个角中,如果没有直角,那么一定有( )
A.2个锐角和2个钝角B.1个锐角和3个钝角
C.1个钝角和3个锐角D.都是锐角或都是钝角
由于圆内接四边形的对角互补
,圆内接四边形的4个角中若没有直角,则必有2个锐角和2个钝角.
A
2.如图,在⊙O中,弦AB长等于半径,E为BA延长线
上一点,∠DAE=80°
,则∠ACD的度数是( )
A.60°
B.50°
C.45°
D.30°
∠BCD=∠DAE=80°
在Rt△ABC中,∠B=90°
,AB=
AC,
∴∠ACB=30°
.∴∠ACD=80°
-30°
=50°
B
3.如图所示,在半径为2cm的⊙O内有长为2
cm的弦AB.则此弦所对的圆心角∠AOB为( )
B.90°
C.120°
作OC⊥AB于C,则BC=
在Rt△BOC中cos∠B=
∴∠B=30°
∴∠BOC=60°
.∴∠AOB=120°
C
4.如图,已知⊙O的半径为5,两弦AB、CD相交于AB的中点E,且AB=8,CE∶ED=4∶9,则圆心到弦CD的距离为( )
A.
B.
C.
D.
过O作OH⊥CD,连接OD,
则DH=
CD,
由相交弦定理知,
AE·
BE=CE·
DE.
设CE=4x,则DE=9x,
∴4×
4=4x×
9x,解得x=
∴OH=
5.如图,PA切⊙O于A,PBC是⊙O的割线,且PB=BC,PA=3
,那么BC的长为( )
B.2
C.3D.3
根据切割线定理PA2=PB·
PC,
所以(3
)2=2PB2.所以PB=3=BC.
6.两个同心圆的半径分别为3cm和6cm,作大圆的弦MN=6
cm,则MN与小圆的位置关系是( )
A.相切B.相交
C.相离D.不确定
作OA⊥MN于A.连接OM.
则MA=
MN=3
在Rt△OMA中,
OA=
=3(cm).
∴MN与小圆相切.
7.如图,PAB,PDC是⊙O的割线,连接AD,BC,若PD∶PB=1∶4,AD=2,则BC的长是( )
A.4B.5
C.6D.8
由四边形ABCD为⊙O的内接四边形可得∠PAD=∠C,∠PDA=∠B.
∴△PAD∽△PCB.∴
又AD=2,∴BC=8.
8.已知⊙O的两条弦AB,CD交于点P,若PA=8cm,PB=18cm,则CD的长的最小值为( )
A.25cmB.24cm
C.20cmD.12cm
设CD=acm,CD被P分成的两段中一段长xcm,另一段长为(a-x)cm.则x(a-x)=8×
18,
即8×
18≤(
)2=
a2.
所以a2≥576=242,即a≥24.
当且仅当x=a-x,即x=
a=12时等号成立.
所以CD的长的最小值为24cm.
9.如图,点C在以AB为直径的半圆上,连接AC、BC,AB=10,tan∠BAC=
,则阴影部分的面积为( )
πB.
π-24
C.24D.
π+24
∵AB为直径,∴∠ACB=90°
∵tan∠BAC=
∴sin∠BAC=
又∵sin∠BAC=
,AB=10,
∴BC=
×
10=6.
AC=
6=8,
∴S阴影=S半圆-S△ABC=
π×
52-
8×
6
π-24.
10.在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,以A为圆心、AC为半径的圆交AB于F,交BA的延长线于E,CD⊥AB于D,给出四个等式:
①BC2=BF·
BA;
②CD2=AD·
AB;
③CD2=DF·
DE;
④BF·
BE=BD·
BA.
其中能够成立的有( )
A.0个B.2个
C.3个D
.4个
①②不正确,由相交弦定理知③正确,
又由BC2=BE·
BF,BC2=BD·
BA,
得BE·
BF=BD·
BA,故④正确.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,满分20分.把正确答案填写在题中的横线上)
11.四边形ABCD
内接于⊙O,若∠BOD
=120°
,OB=1,则∠BAD=__
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学 第二 直线 位置 关系 知识 归纳 达标 验收 创新 应用 教学 新人 选修 41
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)
链接地址:https://www.bdocx.com/doc/13240875.html