数的整除特征Word文档下载推荐.docx

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若一个整数末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

（11）

若一个整数末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

（⑵

若一个整数各位数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除。

（13）

一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数

字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小）能

否被7（11或13）整除

（14）

末位数字为零的整数必能被10整除

（15）

（16）

另外，一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果是11的倍数，那

么这个整数也是11的倍数.（一个整数的个位、百位、万位、…称为奇数位，十位、千位、百万位……称为偶数位.）

至于6和12的整除特性，通过以上的原则判断即可：

各位数之和能被3

整除的偶数能被6整除；

各位数之和能被3整除且末两位数字组成的两位数能被4整除的整数能被12整除。

（17）能被7整除的数的特征：

若一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中,

减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果数字仍然

太大不能直接观察出来，就重复此过程。

方法1、（适用于数字位数少时）一个数割去末位数字，再从留下来的数

中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7

的倍数（包括0）,那么，原来的这个数就一定能被7整除.例如：

判断

133是否7的倍数的过程如下：

13—3>

2=7,所以133是7的倍数；

又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：

613—9X2=595,59—5&

=

49,所以6139是7的倍数，余类推。

方法2、（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位

以前的数字所组成的数之差，如果能被7整除，那么，这个多位数就一定

能被7整除.

如判断数280679末三位数字是679,末三位以前数字所组成的数是280,

679—280=399,399能被7整除，因此280679也能被7整除。

此法也适

用于判断能否被11或13整除的问题。

如：

283679的末三位数字是679,末三位以前数字所组成的数是283,679

—283=396,396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除.

判断383357能不能被13整除.

这个数的未三位数字是357,末三位以前的数字所组成的数是383,这两

个数的差是：

383—357=26,26能被13整除，因此，383357也一定能被

13整除.

7的倍数。

方法3、首位缩小法，在首位或前几位，减于

例如，判断452669能不能被7整除，452669-420000=32669只要32669

能被7整除即可。

对32669可继续，32669-28000=4669,4669-4200=469,

469-420=49,49当然被7整除，所以452669能被7整除。

（18）能被11整除的数的特征：

除了前面讲的被7整除的方法二适用于11之

外，还可以把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分

别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0）,那么，原来这个数

就一定能被11整除。

例如：

判断491678能不能被11整除。

奇位数字的

和9+6+8=23，偶位数位的和4+1+7=12,23-12=11因此,491678能被11

这种方法叫奇偶位差法”。

11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！

过程唯一不同的

是：

倍数不是2而是10

（19）

能被13整除的数的特征：

除了前面讲的被7整除的方法二适用于13之

到能清楚判断为止，重复此过程。

（20）

（21）

12844+084=12844，1284+4^=1300,1300^3=100所以，1284322能被

13整除。

能被17整除的数的特征：

把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中,

减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。

判断1675282能不能被17整除。

167528-28=167518

16751-85=16711

1671-15=1666

166-685=136如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

685=30,现在个位85=30＞剩下的13,就用大数减去小数，30-13=17,

17勻7=1;

所以1675282能被17整除。

若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。

能被19整除的数的特征：

加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。

若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数

能被19整除。

如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除。

4675=46X100+75

由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除.因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除.

又如：

832=8X100+32

由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除.因此，因此，一个数只要末两位数

字能被4整除，这个数就一定能被4整除.

如果一个数的末三位数能被8或125整除，那么，这个数就一定能被8

或125整除.

9864的末三位是864，864能被8整除，9864就一定能被8整

除.72375的末三位数是375,375能被125整除，72375就一定能被125

1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.

0是任何非零整数的倍数，aM0,为整数，则a|0.

（25）

被23或29整除的数的特征：

若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数

的差能被23（或29）整除，则这个数能被23（或29）整除

重点难点数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便，在实际问题中应用广泛。

要学好数的整除问题，就必须找到规律，牢记上面的整除性质,不可似是而非。

学法指导能被2和5,4和25,8和125整除的数的特征是分别看这个数的末一位、末两

位、末三位。

我们可以综合推广成一条：

末n位数能被（或）整除的数，本身必

能被（或）整除；

反过来，末n位数不能被（或）整除的数，本身必不能被（或）整除。

例如，判断253200、371601能否被16整除，因为，所以只要看各数的末四位数能否被16整除。

学习这一讲知识要学会举一反三。

经典例题

［例1］在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除,

且使这个数尽可能小。

思路剖析这个六位数分别被3、4、5整除，故它应满足如下三个条件:

（1）各位数字和是3的奇数;

（2）末两位数组成的两位数是4的倍数;

（3）末位数为0或5。

按此条件很容易找到这个六位数。

解答不妨设补上三个数字后的位数为，由于这个六位数被4、5整除，因为被4整除,

所以c不能是5而只能是0，且b只可能是2、4、6、8、0。

（5+6+8+a+2）,

a可为

0、

3、

（5+6+8+a+4）,

1、

4、

（5+6+8+a+6）,

2、

5、

（5+6+8+a+8）,

（5+6+8+a+0）,

当b=2时,

3|

6、9；

当b=4时,

7；

当b=6时,

8；

当b=8时,

当b=0时,

&

a应取0、

故能被3、4、5整除的最小六位数应为568020。

［例2］四位数能同时被2、3、5整除，问这个四位数是多少?

思路剖析

B在0、2、4、6、8

能同时被2、3、5整除，所以满足以下三个条件：

个位数字

之中，各位数字之和是3的倍数，个位数B在0、5之中。

第一个和第三个条件都是针对个位数字的，所以先根据第二个条件确定百位数字解答要使能同时被2和5整除，个位数字只能是B=0;

又要使能被3整除，所以各位数字之和8+A+1+0=9+A应能被3整除。

可以看出，当A取0、3、6、9时，各

位数字之和9+A可以被3整除。

所求的四位数是8010、8310、8610、8910。

［例3］有两堆糖果，第一堆有513块，第二堆有633块，哪一堆可以平均分给9个小朋友而无剩余？

思路剖析本题实际上是判断513与633能否被9整除。

解答

513各位上数字之和是5+1+3=9,能被9整除；

633各位上数字的和是6+3+3=12,不能被9整除。

所以，第一堆可以平均分给9个小朋友而无剩余，第二堆平均分给9个小朋友还剩余3块。

［例4］有一个四位数是9的倍数，求A的值。

思路剖析四位数是9的倍数，即能被9整除，根据能被9整除的数的特征，这个四位数的各位数字之和一定是9的倍数。

当和是9时，3+A+A+1=9，即2A=5，所以A=2.5（舍）；

当和是18时，3+A+A+1=18，即2A=14，A=7;

（3）当和是27时，3+A+A+1=27，即2A=23，可见A=11.5>

10（舍）。

所以，A的值是7。

［例5］—位马虎的采购员买了72只桶，洗衣时将购货发票洗烂了，只能依稀看到:

72只桶，共□679□元（□内的数字洗烂了），请你帮他算一算，他一共用了多少钱？

思路剖析用整除性质：

一个数能被两个数和的积整除，那么这个数就能同时被这两个数整除。

例如，整数a能被15整除，那么这个数一定能同时被3和5整除。

这种方

法是分析整数问题的基本方法。

解答将口679□元看做口679分，这是72只桶的总价，因为单价X72=口679；

所以口679口

能被72整除。

72=8X9，所以□679应该能被8和9整除。

如果□679能被8整除，那么它的末三位一定能被8整除，即8|79□容易算出□内是2。

因为口6792能被9整除，所以其各数之和能被9整除。

□+6+7+9+2=1+24显然,

□中的数只能是3。

所以这笔账是367.92元。

答：

一共用了367.92元。

［例6］在□里填上适当的数字，使得六位数□678□能被&

9和25整除。

解答☆解法一：

根据&

9和25整除的数的特征很容易解出此题。

这个六位数