高中数学函数定义域值域求法总结文档格式.docx
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无意义,
而
时,分式
有意义,∴这个函数的定义域是
.
②∵3x+2<
0,即x<
-
时,根式
,即
才有意义,
∴这个函数的定义域是{
|
}.
③∵当
且
和分式
同时有意义,
}
另解:
要使函数有意义,必须:
例2求下列函数的定义域:
②
④
⑤
①要使函数有意义,必须:
即:
∴函数
的定义域为:
[
]
②要使函数有意义,必须:
∴定义域为:
{x|
③要使函数有意义,必须:
∴函数的定义域为:
④要使函数有意义,必须:
⑤要使函数有意义,必须:
即x<
或
x>
∴定义域为:
2
定义域的逆向问题
例3
若函数
的定义域是R,求实数a的取值范围
(定义域的逆向问题)
∵定义域是R,∴
∴
练习:
定义域是一切实数,则m的取值范围;
3复合函数定义域的求法
例4若函数
的定义域为[1,1],求函数
的定义域
例5已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(2x-1)的定义域。
分析:
法则f要求自变量在[-1,1]内取值,则法则作用在2x-1上必也要求2x-1在[-1,1]内取值,即-1≤2x-1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域;
或者从位置上思考f(2x-1)中2x-1与f(x)中的x位置相同,范围也应一样,∴-1≤2x-1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。
(注意:
f(x)中的x与f(2x-1)中的x不是同一个x,即它们意义不同。
)
∵f(x)的定义域为[-1,1],
∴-1≤2x-1≤1,解之0≤x≤1,
∴f(2x-1)的定义域为[0,1]。
例6已知已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(x2)的定义域。
答案:
-1≤x2≤1
x2≤1
-1≤x≤1
设
的定义域是[3,
],求函数
得:
∵
≥0
∴
∴函数
的定域义为:
例7已知f(2x-1)的定义域为[0,1],求f(x)的定义域
因为2x-1是R上的单调递增函数,因此由2x-1,x∈[0,1]求得的值域[-1,1]是f(x)的定义域。
1已知f(3x-1)的定义域为[-1,2),求f(2x+1)的定义域。
(提示:
定义域是自变量x的取值范围)
2已知f(x2)的定义域为[-1,1],求f(x)的定义域
3若
的定义域是
,则函数
的定义域是
(
)
A.
B
C.
D.
4已知函数
的定义域为A,函数
的定义域为B,则(
B.B
求值域问题
利用常见函数的值域来求(直接法)
一次函数y=ax+b(a
0)的定义域为R,值域为R;
反比例函数
的定义域为{x|x
0},值域为{y|y
0};
二次函数
的定义域为R,
当a>
0时,值域为{
};
当a<
例1
求下列函数的值域
①y=3x+2(-1
x
1)
(记住图像)
①∵-1
1,∴-3
3x
3,
∴-1
3x+2
5,即-1
y
5,∴值域是[-1,5]
②略
③
当x>
0,∴
=
,
当x<
0时,
=-
∴值域是
[2,+
).(此法也称为配方法)
函数
的图像为:
二次函数在区间上的值域(最值):
例2
求下列函数的最大值、最小值与值域:
②;
,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2.
①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R,
∴x=2时,ymin=-3,无最大值;
函数的值域是{y|y
-3}.
②∵顶点横坐标2
[3,4],
当x=3时,y=-2;
x=4时,y=1;
∴在[3,4]上,
=-2,
=1;
值域为[-2,1].
③∵顶点横坐标2
[0,1],当x=0时,y=1;
x=1时,y=-2,
∴在[0,1]上,
④∵顶点横坐标2
[0,5],当x=0时,y=1;
x=2时,y=-3,x=5时,y=6,
=-3,
=6;
值域为[-3,6].
注:
对于二次函数
⑴若定义域为R时,
①当a>
0时,则当
时,其最小值
②当a<
时,其最大值
;
⑵若定义域为x
[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若
[a,b],则
是函数的最小值(a>
0)时或最大值(a<
0)时,
再比较
的大小决定函数的最大(小)值.
②若
[a,b],则[a,b]是在
的单调区间内,只需比较
的大小即可决定函数的最大(小)值.
①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;
②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
1、求函数y=3+
的值域
由算术平方根的性质,知
≥0,故3+
≥3。
∴函数的值域为
.
2、求函数
对称轴
1单调性法
求函数y=4x-
(x≤1/3)的值域。
设f(x)=4x,g(x)=-
(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)+g(x)=4x-
在定义域为x≤1/3上也为增函数,而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为{y|y≤4/3}。
小结:
利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。
求函数y=3+
的值域。
(答案:
{y|y≥3})
2换元法
例4
求函数
的值域
,则
点评:
将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域。
这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。
它的应用十分广泛。
求函数y=
{y|y≤-3/4}
求
的值域;
例5
(三角换元法)求函数
(1)若题目中含有
,则可设
(2)若题目中含有
则可设
,其中
(3)若题目中含有
(4)若题目中含有
(5)若题目中含有
其中
3平方法
(选)求函数
函数定义域为:
4分离常数法
例6
由
,可得值域
已知分式函数
,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内,值域为
如果是条件定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函数化为
,用复合函数法来求值域。
练习
求函数
求函数y=
(y∈(-1,1))
例7
求
的值域
解法一:
(图象法)可化为
如图,
观察得值域
解法二:
(不等式法)
同样可得值域
的值域
例8
(换元法)设
原函数可化为
例9求函数
(换元法)令
由指数函数的单调性知,原函数的值域为
例10
(图象法)如图,值域为
,
则
例13
函数
(逆求法)
2
则
解法三:
(判别式法)原函数可化为
1)
时不成立
2)
时,
综合1)、2)值域
解法四:
(三角换元法)
原函数的值域为
例14
5
(判别式法)化为
1)
时,不成立
2)
得
(复合函数法)令
所以,值域
例15
(判别式法)原式可化为
(不等式法)1)当
综合1)2)知,原函数值域为
例16(选)求函数
(判别式法)原式可化为
(不等式法)原函数可化为
当且仅当
时取等号,故值域为
例17(选)求函数
,则原函数可化为
。
,如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域;
如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为
(选)
的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数的最大
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- 高中数学 函数 定义域 值域 求法 总结