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高等数学讲义
第八章:
多元函数微分
8.1多元函数的极限与连续性
8.1.1定义 设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D内有定义,P0(x0,y0)是D的内点或边界点。
如果对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得对于适合不等式
的一切点P(x,y)∈D,都有|f(x,y)-A|<ε
成立,则称常数A为函数f(x,y)当x→x0,y→y0时的极限,记作
或f(x,y)→A(ρ→0),这里ρ=|PP0|。
例设(x2+y2≠0),
求证。
因为,
可见,对任何ε>0,取,则当
时,总有
成立,所以。
我们必须注意,所谓二重极限存在,是指P(x,y)以任何方式趋于P0(x0,y0)时,函数都无限接近于A。
定义设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D内有定义,P0(x0,y0)是D的内点或边界点且P0∈D。
如果
则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)连续。
8.1.2 性质
性质1(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上一定有最小值和最大值。
性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
所谓定义区域,是指包含在定义域内的区域或闭区域。
由多元初等函数的连续性,如果要求它在点P0处的极限,而该点又在此函数的定义区域内,则极限值就是函数在该点的函数值,即
。
8.2偏导数的定义及计算法
8.2.1定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时,相应的函数有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0),
如果
存在,则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数,记作
或fx(x0,y0)。
对于函数z=f(x,y),求时,只要把y暂时看作常量而对y求导。
例求z=x2sin2y的偏导数。
解
。
8.2.2高阶偏导数
定理如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数在区域D内连续,那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。
8.3多元复合函数求导法则及实例
定理如果函数u=φ(t)及ψ(t)都在点t可导,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z=f[φ(t),ψ(t)]在点t可导,且其导数可用下列公式计算:
。
例设z=eusinv,而u=xy,v=x+y。
求。
解
8.4隐函数的求导公式
8.4.1一个方程的情形
隐函数存在定理1设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数,且F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)≠0,则方程F(x,y)=0在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x),它满足条件y0=f(x0),并有
。
上面公式就是隐函数的求导公式。
隐函数存在定理2设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续的偏导数,且F(x0,y0,z0)=0,Fz(x0,y0,z0)≠0,则方程F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数z=f(x,y),它满足条件z0=f(x0,y0),并有
。
例设x2+y2+z2-4z=0,求,
解设F(x,y,z)=x2+y2+z2-4z,则Fx=2x,Fz=2z-4。
应同上面公式,得
。
再一次对x求偏导数,得
。
二、方程组的情形
隐函数存在定理3设F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)在点P(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数,又F(x0,y0,u0,v0)=0,G(x0,y0,u0,v0)=0,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi)式):
在点P(x0,y0,u0,v0)不等于零,则方程组F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0在点(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续导数的函数u=u(x,y),v=v(x,y),它们满足条件u0=u(x0,y0),v0=v(x0,y0),并有
。
8.5 微分法在几何上的应用
8.5.1空间曲线的切线与法平面
设空间曲线Г的参数方称为
x=φ(t),y=ψ(t),z=ω(t),
这里假定上式的三个函数都可导。
[插图1]
在曲线Г上取对应于t=t0的一点M(x0,y0,z0)。
根据解析几何,可得曲线在点M处的切线方程为
。
切线的方向向量称为曲线的切向量。
向量
T={φ'(t0),ψ'(t0),ω'(t0)}
就是曲线Г在点M处的一个切向量。
通过点而与切线垂直的平面称为曲线Г在点M处的法平面,它是通过点M(x0,y0,z0)而以T为法向量的平面,因此这法平面的方程为
φ'(t0)(x-x0)+ψ'(t0)(y-y0)+ω'(t0)(z-z0)=0。
8.5.2曲面的切平面与法线 [插图2]
设曲面Σ由方程F(x,y,z)=0给出,M(x0,y0,z0)是曲面Σ上的一点,并设函数F(x,y,z)的偏导数在该点连续且不同时为零。
则根据解析几何,可得曲面上通过点M的一切曲线在点M的切线都在同一个平面上。
这个平面称为曲面Σ在点M的切平面。
这切平面的方程是
Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0
通过点M(x0,y0,z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线。
法线方程是x=3
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量。
向量
n={Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}
就是曲面Σ在点M处的一个法向量。
8.6多元函数极值的求法
8.6.1多元函数的极值
二元函数的极值问题,一般可以利用偏导数来解决。
定理1(必要条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数,且在点(x0,y0)处有极值,则它在该点的偏导数必然为零:
fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0。
定理2(充分条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0,令
fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C,
则f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下:
(1)AC-B2>0时具有极值,且当A<0时有极大值,当A>0时有极小值;
(2)AC-B2<0时没有极值;
(2)AC-B2=0时可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论。
利用定理1、2,我们把具有二阶连续偏导数的函数z=f(x,y)的极值的求法叙述如下:
第一步解方程组
fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,
求得一切实数解,即可求得一切驻点。
第二步对于每一个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数的值A、B和C。
第三步定出AC-B2的符号,按定理2的结论判定f(x0,y0)是否是极值、是极大值还是极小值。
8.6.2条件极值拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法要找函数z=f(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点,可以先构成辅助函数
F(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y),
其中λ为某一常数。
求其对x与y的一阶偏导数,并使之为零,然后与方程φ(x,y)=0联立起来:
有这方程组解出x,y及λ,则其中x,y就是函数f(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点的坐标。
这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。
至于如何确定所求得的点是否极值点,在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。
9.1二重积分的概念与性质
9.1.1二重积分的概念
为引出二重积分的概念,我们先来讨论两个实际问题。
设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D,它在点(x,y)处的面密度为ρ(x,y),这里ρ(x,y)>0且在D上连续。
现在要计算该薄片的质量M。
由于面密度ρ(x,y)是变量,薄片的质量不能直接用密度公式(M=ρS)来计算。
但ρ(x,y)是连续的,利用积分的思想,把薄片分成许多小块后,只要小块所占的小闭区域Dsi的直径很小,这些小块就可以近似地看作均匀薄片。
在Dsi(这小闭区域的面积也记作Dsi)上任取一点(xi,hi),则ρ(xi,hi)Dsi(i=1,2,…,n)可看作第i个小块的质量的近似值[插图1]。
通过求和,再令n个小区域的直径中的最大值(记作λ)趋于零,取和的极限,便自然地得出薄片的质量M,即
。
再设有一立体,它的底是xOy面上的闭区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面z=f(x,y),这里f(x,y)≥0且在D上连续。
这种立体叫做曲顶柱体。
现在要计算上述曲顶柱体的体积V。
由于曲顶柱体的高f(x,y)是变量,它的体积不能直接用体积公式来计算。
但仍可采用上面的思想方法,用一组曲线网把D分成n个小闭区域Ds1,Ds2,…,Dsn,在每个Dsi上任取一点(xi,hi),则f(xi,hi)Dsi(i=1,2,…,n)可看作以f(xi,hi)为高而底为Dsi的平顶柱体的体积[插图2]。
通过求和,取极限,便得出
。
上面两个问题所要求的,都归结为同一形式的和的极限。
在其他学科中,由许多物理量和几何量也可归结为这一形式的和的极限。
因此我们要一般地研究这种和的极限,并抽象出下述二重积分的定义。
定义设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数。
将闭区域D任意分成n个小闭区域
Ds1,Ds2,…,Dsn,
其中Dsi表示第i个小闭区域,也表示它的面积。
在每个Dsi上任取一点(xi,hi),作乘积f(xi,hi)Dsi(i=1,2,…,n,),并作和。
如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋于零时,这和的极限总存在,则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分,记作,即
。
(*)
其中f(x,y)叫做被积函数,f(x,y)ds叫做被积表达式,ds叫做面积元素,x与y叫做积分变量,D叫做积分区域,叫做积分和。
在二重积分的定义中对闭区域D的划分是任意的,如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D,那末除了包含边界点的一些小闭区域外,其余的小闭区域都是矩形闭区域。
设矩形闭区域Dsi的边长为Dxj和Dyk,则Ds=Dxj·Dyk。
因此在直角坐标系中,有时也把面积元素ds记作dxdy,而把二重积分记作
其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素。
这里我们要指出,当f(x,y)在闭区域D上连续时,(*)式右端的和的极限必定存在,也就是说,函数f(x,y)在D上的二重积分必定存在。
9.1.2二重积分的性质
二重积分与定积分有类似的性质:
性质1被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面,即
(k为常数)。
性质2函数的和(或差)的二重积分等于各个函数的二重积分的和(或差)。
例如
。
性质3如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域,则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和。
例如D分为两个闭区域D1与D2,则
。
此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。
性质4如果在D上,f(x,y)=1,s为D的面
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